Matematika I-II.

Tartalom I. kötet Előszó 9 A matematika tárgya és módszere 11 A matematika tárgya 11 A fogalmak kialakítása a matematikában 12 Az ítéletek kialakítása a matematikában 15 A matematikai jelölésmód 17 A matematika kapcsolata a többi tudománnyal és a technikával 18 Halmazelmélet 20 A halmaz fogalma 20 Részhalmaz, tartalmazás 22 Műveletek halmazokkal 23 Hatványhalmaz 27 Függvény, leképezés. Halmazok szorzata 29 Osztályozás 33 Matematikai logika 35 Ítélet és logikai értéke 35 Logikai műveletek 36 A matematikai logika alapazonosságai 39 Logikai függvények és kvantorok 41 Vektoralgebra 44 A vektor fogalma 44 Vektorok összeadása és kivonása 46 Vektor szorzása számmal 50 Vektorok lineáris kombinációja és lineáris függetlensége 52 Vektor koordinátái 59 Vektorok skaláris szorzata 62 Másod- és harmadrendű determináns 69 Vektorok vektori szorzata 71 Vektorok vegyes szorzata 79 Analitikus térgeometria 85 Térbeli derékszögű koordináta-rendszer 85 A sík egyenletei 88 Az egyenes egyenletei és egyenletrendszerei 93 Helyzetgeometriai feladatok 97 Távolság- és szögfeladatok 103 Komplex számok 111 A komplex szám algebrai alakja 111 Binomiális együtthatók, binomiális tétel 117 A síkbeli polárkoordináta-rendszer 121 A komplex szám trigonometriai alakja 123 Sorozatok 130 A sorozat fogalma 130 Metrikus tér és korlátos részhalmazai 133 Sorozat határértéke; konvergencia 140 Műveletek számsorozatokkal 145 Valós számsorozatok konvergenciatételei, végtelenhez divergálása 154 Nevezetes számsorozatok 162 Korlátosság és konvergenia az R k-ban 167 A Bolzano-Weierstrass-tétel 170 A Cauchy-féle konvergenciakritérium; irracionális kitevőjű hatvány 173 Függvényhatárérték és folytonosság 178 Valós függvények és szemléltetésük 178 Függvény határértéke 185 Függvény folytonossága 194 Egyoldali határérték, egyoldali folytonosság 199 Korlátos zárt halmazon folytonos valós függvények tulajdonságai 203 Érintő és aszimptota 210 Egyváltozós valós függvények differenciálása 217 Differenciálhányados és derivált 217 Parciális differenciahányadops, parciális derivált 223 Magasabb rendű deriváltak 227 A differenciálás általános szabályai 229 Összetett egyváltozós függvények 237 Görbék érintkezése; simulókör 243 Invertálhatóság és monotonitás. függvény inverze 249 A differenciálszámítás középértéktételei 256 Egyváltozós valós elemi függvények és differenciálásuk 262 Racionális egész függvények 263 Racionális törtfüggvények 271 Páros és páratlan függvények 275 Trigonometrikus függvények; függvény periódusai 276 Arkuszfüggvények 282 Logaritmusfüggvények 289 Exponenciális függvények 294 Hiperbolikus függvények 298 Areafüggvények 304 Egyváltozós valós függvények menetének vizsgálata 310 Függvény szélsőértékei 310 Taylor-formdula 313 Szélsőértékek meghatározása deriváltak segítségével 318 Konvexség, konkávság és inflexiós pont meghatározása deriváltak segítségével 322 L'Hospital-szabály 325 Paraméteresen adott síkgörbék vizsgálata deriváltak segítségével 333 Határozatlan integrál 343 Primitív függvény, határozatlan integrál 343 Alapintegrálok 347 Az integrálás általános szabályai 348 Parciális integrálás 351 Integrálás helyettesítéssel 356 Racionális törtfüggvények integrálása 361 Határozott integrál 367 A határozott integrál fogalma 367 A határozott integrál tulajdonságai 374 Folytonos függvények határozott integrálja 380 Improprius integrálok 387 Területszámítás határozott integrállal 396 Térfogatszámítás határozott integrállal 408 Ívhosszúság kiszámítása határozott integrállal 412 Határozott integrál kiszámítása közelítő módszerekkel 418 Név- és tárgymutató 427 II. kötet Előszó 8 Többváltozós valós függvények differenciálása 9 Függvényhatárérték és folytonosság 9 Az n-dimenziós vektortér 14 Többváltozós valós függvények kapcsolata a skalár-vektorfüggvényekkel 19 Többváltozós valós függvények és skalár-vektorfüggvények differenciálhatósága 22 Iránymenti differenciálhányados 32 Magasabb rendű parciális deriváltak 35 Összetett függvény és parciális differenciálása 41 A többváltozós Taylor-formula és alkalmazásai 49 A Taylor-formula 49 A teljes differenciál 52 Szélsőértékek 56 Feltételes szélsőérték-számítás 68 Többváltozós valós függvények integrálása 77 A kettős és a hármas integrál fogalma 77 A kettős és a hármas integrál tulajdonságai 80 A kettős integrál kiszámítása kétszeres integrálással 82 A hármas integrál kiszámítása háromszoros integrálással 93 Hengerkoordináták, térbeli polárkoordináták 96 A kettős és a hármas integrál transzformációja 100 Differenciálgeometria 109 Vektor-skalárfüggvéynek 109 Térgörbe ívhossza, ívhosszparaméter 112 A térgörbe kísérő triédere 119 Görbület és torzió 131 Felület megadása Gauss-féle paraméterekkel 140 Vektor-vektorfüggvény parciális deriváltjai 145 Felület érintősíkja és normálisa 146 Felületdarab felszíne 148 Skalárisan adott felület érintősíkjának és felszínének kiszámítása 153 Vektor-vektorfüggvények 159 Divergencia és rotáció 160 Görbementi integrál 165 Felületmenti integrál 172 Integrálredukciós tételek és következményeik 178 Mátrix és determináns 184 A mátrix fogalma 184 Műveletek mátrixokkal 186 A determináns mátrixos definíciója és alaptulajdonságai 193 Mátrix rangja 202 Reguláris és szinguláris mátrixok. Mátrix inverze 206 Gráfokkal kapcsolatos mátrixok 211 Lineáris egyenlet- és egyenlőtlenség-rendszerek 219 Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 219 A lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának mátrixrangos feltétele 229 Mátrix sajátértékei és sajátvektorai 237 Lineáris egyenletrendszer közelítő megoldása 246 Lineáris egyenlőtlenségek és egyenlőtlenség-rendszerek 250 A lineáris programozás alapfogalmai 256 Tenzorok 264 A tenzor fogalma, értékkészlete 264 Tenzor koordinátái, mátrixa 269 Műveletek tenzorokkal 271 Vektorok diadikus szorzata 276 Vektor-vektörfüggvény deriválttenzora 278 Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus tenzorok 280 Tenzor sajátértékei és sajátvektorai 285 Számsorok 287 Sor és összege 287 Sorok általános konvergenciatételei 294 Nemnegatív tagú sorok 297 Leibniz-sorok 307 Abszolút és feltételes konvergencia 309 Műveletek sorokkal 313 Függvénysorozatok és függvénysorok 318 Alapfogalmak 318 Hatványsorok 323 Fourier-sorok 334 Komplex függvények 349 Komplex függvény felbontása valós és képzetes részre 349 Komplex változós exponenciális és trigonometrikus függvények 351 A komplex szám exponenciális alakja és logaritmusa 358 Differenciálhatóság és feltételei 361 Komplex függvény integrálása 364 A Cauchy-féle integráltétel 370 A Cauchy-féle integrálformulák 378 Laplace-transzformáció 384 A Laplace-transzformáció fogalma és alaptulajdonságai 384 A konvolúciótétel és következményei 393 A Laplace-transzformált differenciálása és integrálása 398 Hasonlósági és eltolási tételek 401 Az inverz Laplace-transzformáció 405 Egyismeretlenes egyenletek 410 Valós együtthatós algebrai egyenlet valós gyökeinek elehelyezkedése 410 Racionális együtthatós algebrai egyenlet racionáis gyökeinek meghatározása 413 A Horner-módszer 416 Egyismeretlenes egyenletek közelítő megoldása 418 Név- és tárgymutató 433