Nagy lineáris rendszerek iterációs megoldása

TARTALOM Előszó 11 Köszönetnyilvánítás 14 Bevezetés 19 A mintafeladat 20 Kiegészítő megjegyzések 23 Gyakorlatok 23 Mátrixelméleti alapismeretek 24 Az elmélet rövid áttekintése 24 Hermitikus mátrixok és pozitív definit mátrixok 33 Vektornormák és mátrixnormák 38 Vektor- és mátrixsorozatok konvergenciája 45 Irreducibilitás és diagonális dominancia 46 Az A-tulajdonság 50 Az L-mátrixok 50 Tipikus parciális differenciaegyenletek 55 Kiegészítő megjegyzések 59 Gyakorlatok 60 Stacionárius lineáris iterációs módszerek 66 Alapfogalmak 66 A konzisztencia, a reciprok konzisztencia és a teljes konzisztencia 67 A legfontosabb stacionárius iterációs módszerek 72 Teljesen konzisztens módszerek előállítása 75 Általános konvergenciatételek 77 További konvergenciatételek 79 A konvergencia sebessége 83 Másodrendű mátrix Jordan-féle kondíciószáma 86 Kiegészítő megjegyzések 90 Gyakorlatok 92 A legfontosabb iterációs módszerek konvergenciája 101 A JTR- és az STR-módszer 101 Irreducibilis együtthatómátrix gyenge diagonális dominanciával 102 Pozitív definit együtthatómátrixok 103 Az STR-módszer változó relaxációs tényezővel 109 L-mátrix és rokon típusú együtthatómátrixok 111 A J-módszer és a GS-módszer konvergenciasebessége a mintafeladatra 116 Kiegészítő megjegyzések 120 Gyakorlatok 120 Az STR-módszer sajátértékei konzisztensen rendezett mátrixok esetén 126 Bevezetés 126 Hiperkontinuáns együtthatómátrixok 126 Konzisztensen rendezett mátrixok és rendezővektorok 129 Az A-tulajdonság vizsgálata 131 Alaktartó permutálómátrixok és felhasználásuk 135 Differenciaegyenletekből adódó konzisztensen rendezett mátrixok 139 Eljárás az A-tulajdonság és a konzisztens rendezettség vizsgálatára 140 Az STR-módszerrel kapcsolatos további eredmények 142 Kiegészítő megjegyzések 143 Gyakorlatok 143 Az STR-módszer optimális relaxációs tényezőjének meghatározása 147 A virtuális spektrálrádiusz 147 Valós sajátértékű B mátrix esete 148 A konvergencia sebessége; összehasonlítás a Gauss-Seidel-módszerrel 160 Komplex sajátértékű B mátrix esete 161 Numerikus eredmények 189 Kiegészítő megjegyzések 191 Gyakorlatok 191 Az STR-módszer normái 196 Sajátértékek közötti alapvető összefüggés 201 Kiegészítő megjegyzések 221 Gyakorlatok 222 A módosított STR-módszer rögzített relaxációs tényezőkkel 226 A módszer alapgondolata 226 Konvergenciavizsgálat 230 Kiegészítő megjegyzések 241 Gyakorlatok 242 Nemstacionárius lineáris iterációs módszerek 245 A konzisztencia, a konvergencia és a konvergencia sebessége 245 Periodikus nemstacionárius módszerek 249 A Csebisev-polinomok 251 Kiegészítő megjegyzések 252 Gyakorlatok 252 A módosított STR-módszer változó relaxációs tényezőkkel 254 Konvergenciavizsgálat 254 Az optimális relaxációs tényezők meghatározása 255 Alternatív optimáli relaxációs tényezők 258 A módosított STR-módszer speciális esete: a Sheldon-módszer 261 A módosított Sheldon-módszer 264 A ciklikus "szemi-iterációs" Csebisev-módszer 266 A módszerek összehasonlítása a normák alapján 270 Kiegészítő megjegyzések 281 Gyakorlatok 281 Szemi-iterációs módszerek 284 A szemi-iteráció alapelve 285 Valós sajátértékű G mátrix esete 286 A J-, JTR- és RF-módszereken alapuló szemi-iterációs módszerek 293 A Richardson-módszer 298 A ciklikus szemi-iterációs Csebisev-módszer 301 Szemi-iterációs GS-módszerek 302 A szemi-iterációs STR-módszer 308 A szemi-iterációs MSTR-módszer 308 A módszerek összehasonlítása a normák alapján 313 Kiegészítő megjegyzések 315 Gyakorlatok 316 A szukcesszív túlrelaxálásra vonatkozó eredmények érvényességi körének vizsgálata 320 Az érvényességi körön kívül eső néhány együtthatómátrix 320 A Stieltjes-mátrixok vizsgálata 323 Kiegészítő megjegyzések 327 Gyakorlatok 328 Általánosított konzisztensen rendezett mátrixok 330 Bevezetés 330 KR (q, r)-mátrixok, az Aq, r-tulajdonság, a (q, r)-rendezővektorok 331 Az optimális relaxációs tényező meghatározása 337 ÁKR(q, r)-mátrixok 341 Az ÁKR(q, r)-mátrixok és a KR(q, r)-mátrixok közötti kapcsolat 342 Számítási eljárások, normálalakok 344 Általános észrevételek 349 Kiegészítő megjegyzések 350 Gyakorlatok 373 Csoportos iterációs módszerek 354 Csoportos iterációs módszerek konstrukciója 355 Lineáris egyenletrendszer megoldása kontinuáns együtthatómátrix esetén 360 Konvergenciavizsgálat 364 Alkalmazások 369 A közönséges és a csoportos iterációs módszerek összehasonlítása 371 Kiegészítő megjegyzések 373 Gyakorlatok 373 A szimmetrikus STR-módszer és további speciális módszerek 377 Az SSTR-módszer alapelve 377 Konvergenciavizsgálat 378 A relaxációs tényező megválasztása 379 Szemi-iterációs SSTR-módszerek 384 Csoportos SSTR-módszerek 387 A nemszimmetrikus STR-módszer 389 Szimmetrikus és nemszimmetrikus MSTR-módszerek 390 Kiegészítő megjegyzések 392 Gyakorlatok 392 Másodfokú módszerek 397 Kiegészítő megjegyzések 402 Gyakorlatok 402 A váltakozó irányok módszere 404 A váltakozó irányok módszerének alapelve; a Peaceman-Rachford-módszer 404 A konzisztencia és konvergencia vizsgálata a stacionárius esetben 406 A paraméterek megválasztása a stacionárius esetben 410 A kommutatív eset 420 Az optimális paraméterek meghatározása 423 Jó paraméterek megválasztása 428 A téglalap alakú tartományra vonatkozó Helmholtz-egyenlet 433 Monotonitási tulajdonságok 435 Szükséges és elégséges feltételek a kommutatív esetre 436 A nemkommutatív eset 445 Kiegészítő megjegyzések 447 Gyakorlatok 448 Az iterációs módszer kiválasztásának szempontjai 451 Irodalom 453 Tárgymutató 460