Analízis I.

Kiadó: Nemzeti Tankönyvkiadó Rt. Kiadás helye: Budapest Kiadás éve: 2001 Kötés típusa: Ragasztott papírkötés Oldalszám: 315 oldal Sorozatcím: Kötetszám: Nyelv: Magyar Méret: 23 cm x 17 cm ISBN: Megjegyzés: Kézirat. 24. változatlan kiadás. A könyv tankönyvi száma: J 3-959. Fekete-fehér ábrákkal. ELŐSZÓ Részlet a könyvből Ez a jegyzet a programozó matematikus szak hallgatói részére készült. Elsősorban e szak tantervének "Analízis" programjában szereplő anyagnak az egyváltozós függvényekkel kapcsolatos részét tartalmazza. Az anyag feldolgozásakor, a jelölések és bizonyítások megválasztásakor a képzés céljával összhangban arra törekedtünk, hogy az analízisben adódó lehetőségeket felhasználjuk egy "algoritmikus szemlélet" kialakítására. A jegyzetben, ahol erre lehetőség kinálkozik, együtt tárgyaljuk a valós és komplex változós függvényekre vonatkozó fogalmakat és tételeket. Több helyen támaszkodunk a programozó matematikusok számára irt "Bevezetés a matematikába" és "Lineáris algebra" jegyzetekre. Arra törekedtünk, hogy az általunk használt fogalmak és jelölések az emlitett jegyzetekkel összhangban legyenek. Vissza TARTALOM Bevezetés 7 Fontosabb jelölések és rövidítések 8 Irodalom 13 Alapfogalmak 15 Valós számok 15 A valós számok axiómái 15 Számhalmaz alsó és felső határa 16 Nevezetes egyenlőtlenségek 19 Feladatok 22 Függvények 25 Reláció, függvény 25 Függvény leszűkítése, kiterjesztése 27 Közvetett függvény, inverz függvény 28 Algebrai műveletek számértékű függvényekkel 29 Feladatok 30 Számsorozatok és sorok 32 Számsorozatok 32 Számsorozatok értelmezése 32 Monoton sorozatok 33 Részsorozat, sorozat átrendezése 34 Korlátos sorozatok, sorozat alsó és felső határa 36 Sorozat határértéke 39 Nevezetes konvergens sorozatok 42 Műveletek határértékekkel 44 Monoton sorozatok határértéke 50 Pozitív számok n-edik gyöke 52 A Cauchy-féle konvergencia kritérium 54 Tágabb értelemben vett határérték 57 Sorozatok limesz szuperiorja és limesz inferiorja 61 Feladatok 66 Végtelen sorok 71 Végtelen sor összege 71 Nevezetes sorok 71 Pozitív tagú sorok 75 Leibniz-típusú sorok 76 Számok p-adikus tört előállítása 78 Műveletek sorokkal 88 Sorokra vonatkozó konvergencia kritériumok 86 Cauchy-féle gyökkritérium 87 D'Alembert-féle hányados kritérium 88 Kettős sorok 88 Végtelen sorok szorzása 93 Feladatok 96 Függvények határértéke, folytonossága, differenciálhatósága 104 Néhány fontos függvényosztály 104 Nevezetes függvényosztályok 104 Polinomok 104 Racionális függvények 105 Néhány nevezetes függvény 106 Hatványsorok 107 Néhány elemi függvény 112 Feladatok 118 Függvények határértéke 122 Számhalmaz torlódási pontja 122 Függvény határértéke 124 Átviteli elv 130 Műveletek határértékekkel 131 Néhány nevezetes határérték 134 Polinomok határértéke 134 Racionális függvények határértéke 134 Analitikus függvények határértéke 135 Feladatok 137 Folytonos függvények 137 Függvények folytonossága 141 Műveletek folytonos függvényekkel 144 Kompakt halmazok 144 Kompakt halmazon folytonos függvények tulajdonságai 146 Bolzano tétele 151 Inverz függvény folytonossága 154 Az ln, exp és log függvények értelmezése 155 Feladatok 161 Differenciálszámítás 166 A derivált értelmezése és alapvető tulajdonságai 166 Közvetett függvény és inverz függvény deriváltja 174 Lokális növekedés, lokális fogyás, lokális szélsőérték 179 A differenciálszámítás középértéktételei 182 Néhány elemi függvény inverze 186 A sin és cos függvény néhány nevezetes tulajdonsága 187 A tg és ctg függvény értelmezése 190 A trigonometrikus függvények inverze 191 A hiperbolikus függvények inverze 194 Feladatok 199 A differenciálszámítás néhány alkalmazása 203 A L'Hospital-szabály 203 Többször differenciálható függvények, Taylor-formula 208 Konvex és konkáv függvények 215 Függvénydiszkusszió 220 Térgörbe érintője 227 Feladatok 232 Egyváltozós függvények integrálja 238 Primitív függvény 238 A primitív függvények fogalma 242 Műveletek primitív függvényértékkel 248 Elemien integrálható függvények 249 Racionális függvények 249 Racionális függvények integráljára visszavezethető típusok 255 Feladatok 261 Határozott integrál 266 A határozott integrál fogalma 266 Műveletek integrálható függvényekkel 272 Integrálható függvények 278 Newton-Leibniz-formula 283 Az integrálszámítás alkalmazásai 287 Görbe ívhossza 287 Síkidomok területe 293 Forgástest térfogata 298 Forgásfelület felszíne 300 Taylor-formula integrál maradéktaggal 302 Improprius integrál 305 Feladatok 310