Korszerű matematikai alapismeretek

TARTALOM Előszó 11 Halmazelméleti alapfogalmak 13 A halmaz fogalma 13 Műveletek halmazokkal 16 A számfogalom felépítése 21 A természetes számok 21 Az egész számok 22 A racionális számok 25 A gyűrű és a test fogalma 28 A valós számok 31 A valós számhalmaz rendezettsége 33 Valós szám abszolút értéke 36 A hatvány fogalma. Fontosabb azonosságok 37 A gyök fogalma 39 A hatványfogalom általánosítása 41 A logaritmus fogalma 47 A számok normálalakja. Tízalapú logaritmus 49 A teljes indukció 53 Néhány számelméleti alapfogalom 57 Matematikai kifejezések 64 Algebrai kifejezések. Egytagú kifejezések 64 Polinomok. Műveletek polinomokkal. Racionális törtkifejezés 66 Nevezetes azonosságok. Néhány alkalmazás 72 Polinomok szorzattá bontása 77 Polinomok legkisebb közös többszöröse 81 Műveletek racionális törtkifejezésekkel 82 Műveletek irracionális és transzcendens kifejezésekkel 83 Függvények és egyenletek 86 Intervallumok 86 Szorzathalmazok. Koordináta-rendszer 89 A függvény fogalma 92 A számtani és a mértani sorozat 95 A függvény ábrája 98 A függvények osztályozása 101 Függvénytranszformációk 105 Néhány függvény a gyakorlatból 116 A függvény nullahelyei 122 Előkészület az egyenlet megoldására 124 Elsőfokú egyenletek megoldása 131 Szöveges feladatok 132 Paraméteres egyenletek 136 Másodfokú egyenletek 141 Magasabb fokú egyenletek 145 Irracionális egyenletek 151 Exponenciális egyenletek 152 Logaritmikus egyenletek 158 Egyenletrendszerek és determinánsok 161 Az egyenletrendszer fogalma 161 Elsőfokú egyenletrendszerek 165 A determináns fogalma 170 A determinánsok fontosabb tulajdonságai 175 Másodfokú egyenletrendszerek 182 Néhány alkalmazás 186 További algebrai és transzcendens egyenletrendszerek 192 Egyenlőtlenségek 195 Egyismeretlenes egyenlőtlenségek 195 Kétismeretlenes egyenlőtlenségek és egyenlőtlenség-rendszerek 203 Azonos egyenlőtlenségek 212 Középértékek 216 Alkalmazások 220 Geometria 227 Alapfogalmak 227 A háromszögre vonatkozó fontosabb tételek 230 Síkidomok hasonlósága 234 A háromszögek hasonlóságának néhány alkalmazása 236 Sokszögekre és körre vonatkozó tételek 240 Síkidomok kerületének és területének meghatározása 244 Néhány példa 249 A szögek ívmértéke 255 Térgeometriai alapfogalmak 256 Hasábokra és gúlákra vonatkozó tételek 260 A henger, a kúp és a gömb 264 Néhány feladat megoldása 267 Trigonometria 272 A szögfüggvények értelmezése 272 Ugyanazon szög szögfüggvényei közötti összefüggések 282 A szinusz- és a koszinusztétel 284 A háromszög területképletei 289 A szinusz- és a koszinuszfüggvény további általánosításe 291 A tangens- és a kotangensfüggvény általánosítása 297 A szögfüggvények ábrázolása 299 Az addíciós képletek 302 Összetettebb feladatok 307 Trigonometriai egyenletek 312 Vektorok 321 A vektor fogalma 321 Az összeadás, a kivonás és a skalárral való szorzás 324 Vektorok összetevőkre bontása 328 Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal 333 Vektorok skaláris szorzata 339 Az n-elemű vektorok 344 Analitikus geometria 348 A sík analitikus geometriájának alapfogalmai 348 Az egyenes legelemibb egyenletei 353 Az egyenes egyenletének néhány speciális alakja 360 Az egyenes egyenletének általános alakjai 362 A kör 370 A parabola 381 Az ellipszis 384 A hiperbola 387 A tér analitikus geometriájának elemei. A sík és az egyenes 372 A gömb és néhány más felület 403 Néhány általánosítás 407 Végtelen számsorozatok 409 Monoton és nem monoton sorozatok 409 Sorozatok korlátossága. torlódási hely 414 A sorozat határértéke 417 A határértékre vonatkozó tételek 418 Végtelen sorok 429 Függvénytan 433 Alapfogalmak 433 A függvény határértéke 439 A függvény folytonossága 448 Folytonos függvények tulajdonságai 455 Az inverz függvény 459 Differenciálszámítás 468 A differenciálhatóság és a differenciálhányados fogalma 468 Differenciálási szabályok 472 Példák a differenciálszámítás közvetlen alkalmazására 480 Differenciálható függvények tulajdonságai 487 Függvényvizsgálat 492 Szélsőérték-számítás 498 Magasabb rendű deriváltak 506 A primitív függvény és a határozatlan integrál 511 A komplex számok 513 A komplex szám fogalma 513 A komplex szám abszolút értéke és trigonometriai alakja 519 Az egységgyökök 529 Az algebra alaptétele és néhány következménye 533 A Horner-módszer 533 Az algebra alaptétele. A gyöktényezős alak 537 Valós együtthatós polinomok 543 A Lagrange-féle interpoláció 546 Néhány szó a hiperkomplex számokról 548 Polinomok legnagyobb közös osztója 550 Racionális törtkifejezések 54 Kombinatorika 562 A kombinatorika tárgya 562 Permutációk 563 Ismétléses permutációk 565 Kombinációk 567 Ismétléses kombinációk 571 Variációk 574 Ismétléses variációk 575 A binomiális és a polinomiális tétel 577 A binomiális együtthatók fontosabb tulajdonságai 580 Függelék 585 A gyakrabban szükséges képletek gyűjteménye 587 Táblázatok 601 Irodalomjegyzék 621 Név- és tárgymutató 623