Klasszikus és lineáris algebra

Ez a tankönyv az Eötvös Loránd Tudományegyetem matematikus szakos hallgatóinak algebra előadásához kapcsolódik. Célja az egyetemi előadások kiegészítése és a tanulás megkönnyítése. Nem célja azonban, és nem is lehet célja, hogy az előadások vagy a gyakorlatok látogatását feleslegessé tegye. Annál is inkább nem, mert az előadó személyének változtatása, sőt még az idő múlása is óhatatlanul változásokat, hullámzást okoz az anyag felépítésében is. Ez természetes folyamat, mert a fejlődésnek az előadásokra is ki kell hatnia. Ennek következményeként - vagy akár valamilyen apróbb cél kidomborítása végett - a felhasznált bizonyítások is változatnak. Azt pedig nem lehet elvárni, hogy a könyv az összes lehetséges bizonyítást tartalmazza minden egyes tétel esetében. Éppen ezért a könyv csak egyetlen felépítési lehetőséget tárgyal; azt, amelyik - véleményem szerint - legjobban idomul az előadások mostani felépítéséhez. A könyv két részre tagolható. Az első rész - az elemi algebra - lényegében a klasszikus algebrai alapismereteket tárgyalja. Az itt szereplő matematikai objektumok alig mennek túl a középiskolai algebra anyagon. A tárgyalásmód azonban attól teljesen eltérő. Arra törekedtem, hogy az elemi algebrát is minél modernebb felfogásban, minél korszerűbb módszerek felhasználásával írjam meg. Ezzel egyrészt azt akartam elérni, hogy az ismert anyagot is más felfogásban találja itt meg az olvasó; másrészt ez előkészületül is szolgál a következő absztraktabb tárgyalásmódhoz. Ebben a részben nem szerepelnek feladatok. Az elemi algebrai feladatok témája ugyanis a tárgyalásmódtól eléggé független; és így lényegében bármely elemi algebrai feladatgyűjteményből választhatunk feladatokat. TARTALOM Előszó 9 ELEMI ALGEBRA A komplex számok A valós számok algebrai áttekintése 13 A komplex számok bevezetése 21 A komplex számok geometriai bevezetése 29 A komplex számok trigonometrikus alakja 34 Mátrixok A mátrix definíciója 42 Műveletek mátrixokkal 44 Permutációk 50 A determináns 53 A determináns kifejtése 59 Speciális mátrixok 61 Egyhatározatlanú polinomok Az egyhatározatlanú polinomok fogalma 66 Maradékos osztás és oszthatóság 71 Polinomideálok és legnagy közös osztó 75 Polinomok egyértelmű felbontása irreducibilis faktorokra 79 Polinomok kompozíciója, behelyettesítés 80 Polinomfüggvény, interpoláció 85 Polinomok gyökeinek a meghatározása 87 Az algebra alaptételének ekvivalens alakjai 94 Racionális és egész együtthatós polinomok 99 Többhatározatlanú polinomok A többhatározatlanú polinomok fogalma 105 Kompozíció, maradékos osztás, oszthatóság többhatározatlanú polinomokra 110 Egyhatározatlanú polinomok deriváltja és többszörös gyökei 114 Szimmetrikus és alternáló polinomok 119 Lineáris egyenletrendszerek megoldása 127 LINEÁRIS ALGEBRA Vektorterek A vektortér fogalma 131 Lineáris kombináció és lineáris függés 136 Vektortér-konstrukciók I. (Alterek) 138 Vektortér-konstrukciók II. (Faktorterek) 138 Vektortér-konstrukciók III. (Direkt szorzat) 146 Vektorterek izomorfizmusa 149 Lineáris összefüggés és lineáris függetlenség 151 Dimenzió, véges dimenziós vektorterek 154 Lineáris leképezések Homogén lineáris leképezések értelmezése 159 Lineáris leképezések elemi tulajdonságai 162 A lináris leképezések tere 167 Lineáris leképezések szorzása 169 Lineáris függvények és a duális tér 174 Koordinatizálás Vektorok koordinátái és leképezések mátrixa 177 Áttérés új bázisra 181 Leképezés rangjának a meghatározása 182 Bilineáris függvények Bilineáris leképezések 186 A tenzori szorzat 188 Bilineáris függvények mátrixa 193 Kvadratikus alakok a valós térben 195 Kvadratikus alakok négyzetösszeggé transzformálása 197 Bilineáris függvények a komplex térben 200 Euklideszi terek A valós euklideszi tér 205 A valós euklideszi terek geometriája 208 Komplex euklideszi terek 212 Az euklideszi tér lineáris transzformációi Lineáris transzformációk polinomja 214 Lineáris transzformációk invariáns alterei az eulideszi térben 216 Önadjungált és szimmetrikus transzformációk 218 Unitér és ortogonális transzformációk 220 Kvadratikus alakok az ekulideszi térben 225 A karakterisztikus polinom A determináns 228 Polinommátrixok normálalakja, karakterisztikus polinom 233 A Jordan-féle normálalak 242 Mátrixok felhasználása Lineáris egyenletrendszerek 254 Az inverz mátrix meghatározása 257 Kvadratikus alakok jellegének a megállapítása 260 Betűrendes mutató 265 Idegen nyelvű tartalomjegyzék 270