A végeselem-módszer matematikai alapjai

Ennek a könyvnek az alapját azok az előadások képezik, amelyeket a végeselem-módszer matematikai alapjairól a budapesti Műszaki Egyetem Építőmérnöki Karán több éven át tartottam. Kisebb terjedelemben a negyed- és ötödéves nappali hallgatók számára a matematika és a numerikus módszerek című választható tárgyak keretében és részletesebben a Mérnöki matematika szakmérnöki szakon. Ez a könyv elsősorban azoknak a kutató- és tervezőmérnököknek az igényeit igyekszik kielégíteni, akiknek a végeselem-módszer alkalmazása terén már vannak tapasztalataik, de érdeklődnek az olyan matematikai kérdések iránt, mint amilyenek például a közelítés pontossága, a konvergencia és a bázisfüggvények célszerű alakja. A funkcionálanalízis néhány fogalmát ismertető 1. fejezet beiktatásával az volt a célom hogy e könyv tanulmányozása ne kívánjon meg több matematikai előismeretet, mint amennyi a mérnöki karokon szokásos. A 2. fejezetben ismertetett elmélet és így az ebből az elméletből származtatott variációs módszerek alapját is a kvadratikus funkcionál minimumtétele képezi. A végeselem-módszer alkalmazott interpolációval foglalkozó 3. fejezet anyaga a Magyar Tudományos Akadémia Műszaki Mechanikai Bizottsága előtt (1983-ban) megtartott előadásomon alapszik. Köszönetet mondok Dr. Máté László egyetemi docensnek és Dr. Szántó Imre mérnök-matematikus szakmérnöknek, akiknek észrevételei és tanácsai alapján a szövegben több változtatást hajtottam végre. Külön köszönöm Hadházy Dalmának a kézirat gondos gépelését. TARTALOM Előszó 6 Bevezetés 7 A funkcionálanalízis néhány fogalma 9 Lineáris tér, lineáris altér 11 A lineáris tér dimenziója, bázisvektorok 16 Normál tér 21 Operátor, lineáris operátor 23 Konvergencia, teljes tér 25 Folytonos és korlátos lineáris operátor 29 Néhány alapfogalom a normál tér geometriájából 31 Skalári sszorzat, Hillbert-tér 32 Nullamértékű halmaz, mérhető függvény 35 Általánosított derivált, Szoboljev-tér 39 Ortogonális rendszerek, Fourier-sorok 47 Projekciótétel 57 Variációs módszerek 59 A peremérték-efladat operátora 59 Szimmetrikus, pozitív és pizitív definit operátor 61 Variációs feladat, a kvadratikus funkcionál minimumtétele 67 Lényeges és természetes peremfeltételek 87 Az F funkcionált minimalizáló elem létezése a Hl térben, általánosított megoldás 90 Inhomogén peremfeltételek 93 Az ortonormált sorok módszere 104 A Ritz-módszer 107 A végeselem-módszer bázisfüggvényei 113 Galjorkin-módszer 124 A végeselem-módszerben alkalmazott interpoláció 137 Speciális követelmények 137 Hermite-polinomok és egydimenziós elemek 141 Téglalap és paralelogramma alakú elemek 142 Háromszögelemek 147 Tetraéderelemek 151 Paraméterek számának csökkentése 153 Irodalom 157