Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (Szelezsán)

TARTALOM Valószínűségszámítás Események, tulajdonságok 11 Bevezetés 11 A valószínűségszámítás tárgya 11 Egy kis történeti áttekintés 13 Események és tulajdonságaik. Az eseménytér 14 Kísérlet, elemi események, speciális események 14 Elemi események 15 Eseménytér 16 Összetett események 16 Biztos esemény, lehetetlen esemény 16 Az események mint halmazok 17 Műveletek eseményekkel 18 Az ellentett esemény 18 Események összege 19 Események szorzata 19 Események különbsége 19 A műveletek tulajdonságai 20 Teljes eseményrendszer 21 A fejezet összefoglalása 22 Feladatok 23 A valószínűségszámítás 30 A valószínűség fogalma 30 Gyakoriság, relatív gyakoriság 30 A valószínűség 32 Definíció a relatív gyakorisággal 32 A valószínűség axiomatikus definíciója 33 Az axiómák következményei (valószínűségszámítási tételek) 34 A kombinatórikus valószínűség (a klasszikus képlet) 37 Mintavétel 39 A geometriai valószínűség 42 A feltételes valószínűség. Valószínűségek meghatározása feltételes valószínűséggel 46 A feltételes valószínűség 46 A feltételes relatív gyakoriság 46 A feltételes valószínűség definíciója 47 A szorzási szabály 50 A teljes valószínűség tétele 51 A Bayes tétel 53 Események függetlensége 55 Független kísérletek 59 A fejezet összefoglalása 60 Felatatok 62 Valószínűségi változók, eloszlásaik és jellemzőik 71 A valószínűségi változó és eloszlása 71 A diszkrét valószínűségi változó és eloszlása 72 A diszkrét változó eloszlása 74 Folytonos valószínűségi változó és eloszlása 76 Az eloszlásfüggvény 77 Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 81 Diszkrét eloszlások eloszlásfüggvénye 84 A sűrűségfüggvény 85 Valószínűségi változók függetlensége 91 Műveletek független valószínűségi változókkal. Változók függvényei 91 Műveletek 92 Transzformált eloszlások 94 A valószínűségi eloszlások jellemzői 97 A várható érték 97 Diszkrét valószínűségi változó várható értéke 98 Folytonos valószínűségi változó várható értéke 100 A várható érték tulajdonságai 102 A szórás 104 Diszkrét valószínűségi változó szórása 105 Folytonos valószínűségi változó szórása 106 A szórás tulajdonságai 107 A fejezet összefoglalása 110 Feladatok 112 Nevezetes eloszlások 121 Diszkrét eloszlások 121 A karakterisztikus eloszlás 121 Az egyenletes eloszlás 122 A binomiális eloszlás 123 A binomiális eloszlás egy interpretációja 124 A várható érték 124 A szórás 125 Hipergeometrikus eloszlás 127 A várható érték és a szórás 127 A binomiális és a hipergeometrikus eloszlás kapcsolata 128 A Poisson-eloszlás 129 A várható érték és a szórás 130 Folytonos eloszlások 133 Az egyenletes eloszlás 133 A várható érték 134 A szórás 134 Az exponenciális eloszlás 136 A normális eloszlás 140 Az eloszlásfüggvény 141 A várható érték 141 A szórás 142 A standard normális eloszlás 142 A normális eloszlásból származtatott fontos eloszlások 145 A fejezet összefoglalása 148 Feladatok 150 A nagy számok törvényei. A központi határeloszlás tétel 155 A nagy számok törvényei 155 A Markov tétel 155 A Csebisev-egyenlőtlenség 156 A nagy számok törvénye (Bernoulli tétel) 157 A várható érték és a számtani közép 160 A központi határeloszlás tétel 162 Egy fontos alkalmazás 163 A fejezet összefoglalása 165 Feladatok 165 Többdimenziós valószínűségeloszlások, valószínűségi vetkorváltozók és jellemzőik 168 Diszkrét valószínűségi vektorok 168 Együttes eloszlás 168 Peremeloszlás 169 Kétdimenziós folytonos eloszlások 172 Az együttes eloszlásfüggvény 173 Peremeloszlások 174 Diszkrét eloszlás eloszlásfüggvénye 174 Az esemény valószínűsége 175 Együttes sűrűségfüggvény 177 Perem-sűrűségfüggvények 179 Feltételes eloszlások 180 Diszkrét feltételes eloszlások 180 Folytonos feltételes eloszlások 182 A sűrűségfüggvény 182 Az eloszlásfüggvény 183 Valószínűségi változók függetlensége 184 Függetlenség diszkrét változókra 184 Függetlenség folytonos változókra 185 Együttes eloszlás várható értéke 187 Valószínűségi változók függvényeinek várható értéke 187 A diszkrét eloszlás esete 187 A folytonos eloszlás esete 188 A peremeloszlások várható értéke 189 A diszkrét változó esete 189 A folytonos eset 190 Valószínűségi változók összegének várható értéke 191 Valószínűségi változók szorzatának várható értéke 192 Nem független változók esetén 192 Független változók esetén 192 Feltételes eloszlások várható értéke 193 A diszkrét eset 193 A folytonos eset 195 A korrelációs együttható 195 A kovariancia 197 A kovariancia diszkrét esetre 198 A kovariancia folytonos esetre 198 A korrelációs együttható 198 Regresszióanalízis 202 A regressziós függvény 203 A regressziós függvény diszkrét esetben 203 A regressziós függvény folytonos változókra 204 A regressziós függvény mint jó közelítés 205 Másodfajú regresszió 207 Lineráris regresszió 207 n-dimenziós eloszlások 209 Néhány nevezetes többdimenciós eloszlás 210 Diszkrét eloszlások 210 Folytonos eloszlások 210 A fejezet összefoglalása 211 Feladatok 215 Matematikai statisztika Statisztikai minták és jellemzőik 223 Statisztikai sokaság, mintavétel 224 A statisztikai következtetésről 225 A minta vizsgálata osztályközök segítségével 226 A minta statisztika jellemzői 227 A tapasztalati (empirikus) eloszlásfüggvény 228 A közelítő tapasztalati eloszlásfüggvény 230 Hisztogramok 232 Gyakorisági hisztogram 232 Sűrűséghisztogram 233 A tapasztalati (empirikus) várható érték. A mintaközép 234 Empirikus szórásnégyzet 236 Korrigált empirikus szórásnégyzet 238 A szórás csoportosított minta esetén 239 A szórás osztályközökkel adott minta esetén 240 A tapasztalati medián 241 Középeltérés vagy átlagos eltérés 241 A fejezet összefoglalása 242 Feladatok 243 Statisztikai becslések 253 Pontbecslések 254 A statisztikai függvény. Jó tulajdonságú becslések 254 A maximum likelihood módszer statisztikai becslések konstrukciójára 256 Becslés exponenciális eloszlás várható értékére 257 Normális eloszlás várható értékének és szórásának a becslése 258 A becslés a Poisson-eloszlásnál 259 Becslés a P(A) valószínűségre 260 Intervallumbecslés. Megbízhatósági (konfidencia) intervallumok 261 A várható érték becslése ismert szórás esetén 262 Konfidencia intervallum normális eloszlású változó várható értékére ismeretlen szórás esetén 266 Normális eloszlás szórásának becslése 268 Konfidenciaintervallum ismeretlen valószínűségre 270 A fejezet összefoglalása 271 Feladatok 273 Statisztikai hipotézisek vizsgálata 276 A statisztikai próba 277 A statisztikai próba fogalma. Hipotézishibák 277 Nevezetes statisztikai próbák 280 Paraméteres próbák 281 Az egymintás u-próba. Hipotézis a várható értékre, ismert szórás mellett 281 Kétmintás u-próba. Hipotézis a várható értékek egyezőségére 284 Egymintás t-próba. Hipotézis a várható értékre ismeretlen szórás esetén 285 Kétmintás t-próba. Hipotézis a várható értékek egyenlőségére 286 Az F-próba. Hipotézis a szórások egyezőségére 288 Nemparaméteres próbák 290 Illeszkedésvizsgálat 291 Becslés illeszkedésvizsgálat. Homogenitásvizsgálat 294 A fejezet összefoglalása 296 Feladatok 298 A korrelációs együttható és a regressziós egyenes statisztikai becslése 302 Az "empirikus" korrrelációs együttható 302 A regressziós egyenes 303 A statisztikai módszer 304 A legkisebb négyzetek módszere 305 A fejezet összefoglalása 308 Feladatok 309 Irodalomjegyzék 311 Függelék A. táblázat 312 B. táblázat 313 C. táblázat 314 D. táblázat 315