Operátorszámítás

TARTALOM Előszó 5 Operátor-algebra Folytonos függvények konvolúciójának fogalma és tulajdonságai 9 A konvolúció meghatározása 10 Konvolúció komutativitása 10 A konvolúció asszociativitása 11 Az összeadás és a konvolúció mint az operátorszámítás alapvető műveletei 11 A függvény és a függvény értéke 13 Szimbolika 14 Az integrálás operátora 15 Titchmarsh tétele A tétel megfogalmazása és általános megjegyzések 17 Phragmén tétele 17 Tételek a momentumokról 20 Titchmarsh tételének bizonyítása f=g esetén 22 Általános bizonyítás 24 Operátorok A konvolúció inverz művelete 26 Operátorok 27 Műveletek operátorokkal 28 Számoperátorok 29 Terminológiai megjegyzések 29 Szám és függvény szorzata 30 A 0 és 1 számok 31 A differenciálás operátora 32 Az s operátor hatványai 33 Az s operátor polinomjai 34 Az s operátor az exponenciális függvénnyel 35 Az s operátor összefüggése a trigonometrikus függvényekkel 35 Az s racionális kifejezéssel képezett operátor 36 Az s racionális kifejezéssel képezett operátorok néhány tulajdonságai 40 Állandó együtthatójú közönséges differenciálegyenletek Általános módszer és példák 43 Az elektromos áramkörök elmélete Megjegyzések az operátorszámítás alkalmazásáról a fizikai és technikai kérdések megoldásával kapcsolatban 49 Elektromos áramkör 51 Rövidzárási áram 53 Impedancia 57 Szinuszosan változó áramok 57 A Kirchoff-féle törvények 61 A Wheatstone-híd 61 Az Anderson-híd 62 Általános megjegyzések az elektromos áramkörök egyenleteinek felállításáról 63 Az összetett kétpólusok impedanciája és rövidzárási árama 67 Színuszosan váltakozó feszültség esete 72 A feszültségimpulzus és ennek alkalmazása az impedanciák mérésében 74 Induktív csatolás 75 Négypólusok 78 Négypólusok lánckapcsolása 80 Három négypólus lánckapcsolása 83 Négypólusok rövidrezárt kimenőkapcsokkal 84 Négypólusok nyitott kimenőkapcsokkal 86 Négypólusok, melyeknek kimenőkapcsaira kétpólust kapcsolunk 87 Négypólusok lánca 88 Transzformátorok 89 Elektroncső mint négypólus 91 Négypólusok 1 értékű determinánssal 94 Inverz és szimmetrikus négypólusok 96 A differenciálegyenletek általános megoldásai és peremérték problémák Általános megoldás 98 Peremérték-problémák 101 Differenciálegyenletek megoldása ha a kezdeti feltételek a t0 nemegyenlő 0 pontban adottak 103 Nem folytonos függvények A K osztályban tartozó függvények 104 Műveletek a K osztályban tartozó függvényekkel 105 Az Euler-féle gamma függvény 107 Az l és s-a operátorok törthatványai 109 Függvények, melyeknek differenciálhányadosa a K osztályba tartozik 111 Differenciálegyenletek, amelyeknek jobb oldala nem folytonos 113 Az ugrásfüggvény és az eltolás operátora 114 Speciális nem folytonos függvények differenciálhányadosa 116 Az eltolás operátorának approximációja függvényekkel 119 Az eltolás operátorának különféle interpretációi 120 Az egész t tengelyen értelmezett függvények 122 Alkalmazások a tartók statikájának köréből A terhelés fajtái 125 Nyíróerő és hajlítónyomaték 127 Egyensúlyi feltételek 130 A tartó rugalmas szála 132 Konzolok 133 Statikailag határozatlan esetek 134 Operátor sorozatok és sorok Operátor sorozatok Egyenletes konvergenica 139 Operátorok sorozatának határértéke 141 Operátor sorozat határértékének tulajdonságai 144 Eltolási operátort tartalmazó sorok Sorok, amelyeknek együtthatói számok 148 Az eltolási operátorok általánosabb sorai 149 Periodikusan gerjesztett elektromos rendszerek 149 Hatványsorok Számváltozók hatványsorai, melyeknek együtthatói operátorok 155 Hatványsorok szorzása 157 Számegyütthatójú operátorok hatványsorai 158 Tetszőleges valós kitevőjű hatványok 159 Feladat az elektrotechnika köréből 160 Általánosabb feladat az elektrotechnika köréből 163 A Bessel-féle Jn függvények, ha n tetszőleges egész szám 163 Operátorok differenciálszámítása Operátorfüggvények és differenciálhányadosaik Operátorfüggvények 175 Folytonos operátorfüggvények 176 Operátorfüggvény folytonos differenciálhányadosa 179 A folytonos differenciálhányados tulajdonságai 181 Magasabbrendű folytonos differenciálhányados 183 A differenciálhányados általános definíciója 184 Exponenciális függvények Általánosított exponenciális függvények 187 Hatványsorok differenciálhányadosai 188 A rezgő húr A rezgő húr operátoregyenlete 197 A rezgő húr alakjai 200 Általánosabb peremfeltételek 204 A megoldások egyértelműsége 205 Végtelen hosszú húr 206 A húr rezgése speciális kezdeti feltételek esetén 208 A húr rezgése tetszőlegesen megadott kezdeti alak mellett 210 A húr rezgései megadott kezdeti sebesség mellett 212 Más interpretációk 214 Hővezetési egyenlet Parabolikus exponenciális függvény 214 A parabolikus exponenciális függvény néhány analitikus tulajdonsága 216 Hővezető rúd hőmérséklete 216 A megoldás végtelen sorba fejtése 218 Egyenlőtlenségek és abszolút érték 221 Végtelen hosszú rúd 224 Hőszigetelt rúd 225 Trigonometrikus sorok 229 A rúd hőmérsékletváltozásai adott kezdeti hőmérséklet mellett 231 A megoldás helyességének vizsgálata 232 Speciális esetek 233 Egyik végén szigetelt rúd 236 Rúdvégén szabályozott hőáramlás 237 Hővezető gyűrű 239 A Ta művelet és annak alkalmazása 244 Nem szigetelt hővezető 244 Távvezeték-egyenlet A távvezeték-egyenlet általános alakja 246 Veszteség nélküli vezeték 247 Torzítás nélküli vezeték 247 A Thomson-féle kábel 249 Önindukció nélküli kábel 250 Levezetés nélküli kábel 250 A vezetéknek mind a négy paramétere pozitív 252 Algebrai differenciálhányados Definíció és tulajdonságuk 253 A konstans együtthatójú lineáris differenciálegyenletek általános elméletének alapjai Homogén differenciálegyenletek Bevezető megjegyzések 259 Karakterisztikus egyenletek 259 Az exponenciális függvények 260 Logaritmusok 261 A karakterisztikus egyenlet többszörös gyökei 263 Általános megoldás 263 A megoldások unicitásának tétele 265 Logaritmikus egyenletek 267 Lineáris differenciál-kifejezések 269 Műveleketek lineáris differenciál-kifejezésekkel 269 Lineáris differenciál-kifejezések karakterisztikus polinomjai 270 Tiszta differenicálegyenletek 270 Vegyes differenciálegyenlet 271 A differenciálegyenlet megoldása adott kezdeti, kerületi és egyéb feltételek mellett 271 Inhomogén differenciálegyenletek Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása 275 A jobboldal polinom 276 A jobboldaliexponenciális függvény 277 A jobboldal egy polinom és egy exponenciális függvény szorzata 278 A jobboldal két függvény lineáris kombinációja 279 A jobboldal trigonometrikus függvény 280 A megoldások alkalmazása mellékfeltételek esetén 280 Alkalmazások a parciális differenciálegyenletek körében A parciális differenciálegyenletek visszavezetése operátoregyenletre 282 Megjegyzések a mellékfeltételekről 282 Egy hibás megoldás 288 A látszólagos ellentmondás magyarázata 292 A Cauchy-féle feltételek és az általános feltételekkel való egyenértékű problémája 292 A parciális differenciálegyenlet és az operátoregyenlet egyenértékűségének kérdése 294 További példák parciális differenciálegyenletek megoldására 296 Általános megjegyzések parciális differenciálegyenleteknek operátoros módszerrel való megoldásáról 297 Vegyes feltételek 300 Operátorok integrálszámítása Egy operátorfüggvény integrálja és ezen integrál alkalmazásai A K osztályba tartozó operátorfüggvények 311 Az integrál definíciója 312 Az integrál tulajdonságai 313 Két változó operátorfüggvénye 315 Szeletfüggvények 317 Egy logaritmikus differenciálegyenlet partikuláris megoldásának integrálalakja 319 Alkalmazás a rezgő húr egyenletére 321 Végtelen sorok és határozott integrálok alkalmazása 325 Integráltranszformációk A Laplace-transzformáció 328 A Laplace-transzformáció mint az operátorszámítás alapja 329 A közvetlen módszer és a Laplace-transzformáció módszerének összehasonlítása 330 Más rokon-módszerek 331 Függelék Operátorok meghatározása az absztrakt algebra kifejezéseivel Kommutatív gyűrű 333 Hányados test 334 Operátorok 335 Disztribúciók Bevezetés 336 Disztribúció-operátorok 336 Disztribúció 337 Disztribúciók differenciálása 339 Az itt kifejtett elmélet egyenértékűsége más disztribúció elméletekkel 340 Disztribúció-sorozatok 341 Operátorok és disztribúció 341 Operátorok hatványsora Integrálható függvények hatványsora 342 Egy általánosabb eset 345 Néhány speciális hatványsor 349 Az exponenciális függvény Bevezetés 353 Taylor-sorba fejtés 357 Az Ua (f) függvény 359 A valós képlet Ua (f)-re 360 Az Ua (f) tulajdonságai a valós tengelyen 361 Az a>1 és valós esete 363 Egy operátor valós és imaginárius része 365 Az a >0 és a komplex, de nem imaginárius esete 366 Az a >1 és a tiszta imaginárius esete 369 Az a=1 esete 369 A függvények táblázata 370 Operátoros együtthatójú lineáris differenciálegyenletek általános elmélete Jelölések 370 A megoldások tere 370 Lineáris független megoldások 370 A megoldások egy halmaza 371 Két egyenlet közös megoldása 371 Irrebucibilis polinomok hatványai 373 Operátoros polinomok tényezőkre bontása 374 Logaritmikus egyenletek 376 Tiszta egyenletek 377 Vegyes egyenletek 378 Inhomogén logaritmikus egyenlet 378 Inhomogén tiszta egyenletek 380 Inhomogén vegyes egyenletek 381 Az operátoros polinomok egy osztálya Bevezetés 382 Racionális tényezőkre bontás 383 Irracionális tényezőkre bontás 383 Általános módszer 386 Általános módszer (folytatás) 388 Megjegyzések 390 A differenciálegyenletek egy osztálya A lineárisan független megoldások száma 398 Egy tétel az exponencionális függvényekről 399 A megoldás meghatározása 401 Homogén problémák parciális differenciálegyenletek esetén Bevezetés a problémába 401 Első lemma 402 Második lemma 403 Példák 403 A modern operátorszámítás néhány elektrotechnikai alkalmazása Bevezetés Áramkörök koncentrált elektromos paraméterekkel Párhuzamos kapcsolt ellenállásból és kapacitásból álló áramkör gerjesztése egyenfeszültséggel 411 Soros rezgőkör gerjesztése feszültségimpulzussal 411 Hangfrekvenciás transzformátor lökésszerű gerjesztése 413 Többfokozatú impulzus-erősítő vizsgálata 415 Elektromos hangkeltők és hangfelvevő lökésszerű gerjesztése 417 A kétpólusú áramkörök válasz-analízise Az egység-doublet operátor definíciója és aproximációja függvényekkel 422 Válaszanalízis 424 Átvivőrendszerek speciális átviteloperátorral 428 Távvezetékek Végtelen hosszúságú vezetékek gerjesztése felszültségimpulzusokkal 429 Impulzusjel terjedése távvezetéken 430 Impulzusjel csillapodása távvezetéken 432 Az áramimpulzus végzett gerjesztés feladata. Összefoglalás 433 Véges hosszúságú impedanciával terhelt vezetékek gerjesztése impulzusokkal 433 Két példa 436 Véges távvezetékek válaszanalízise 437 Táblázatok és képletek Speciális függvények 441 Az operátorszámítás képletei 442 Elektrotechnikai alkalmazások 446 Függvénytáblázatok 448 A gyakorlatok megoldásai 451 Irodalom 469 Tárgymutató 473