Közönséges differenciálegyenletek

Megjegyzés: Fekete-fehér ábrákkal illusztrálva. ELŐSZÓ Ez a könyv azoknak az előadásoknak az alapján készült, amelyeket évek során át tartottam a Moszkvai Állami Egyetem mechanika-matematika karán. Az előadások programjának összeállításakor az a meggyőződés vezérelt, hogy az anyag kiválasztása nem lehet véletlenszerű, de nem támaszkodhat kizárólag a felhalmozódott tradíciókra sem. A közönséges differenciálegyenletek alkalmazásainak legfontosabb és legérdekesebb területe a rezgéstan és az automatikus irányítások elmélete. Ezek az alkalmazások vezettek előadásaim anyagának megválasztásában. A rezgéstan és az automatikus irányítások elmélete kétségkívül igen jelentős a mai civilizáció fejlődésében, ezért úgy gondolom, hogy az előadások anyagának ilyen megválasztása, ha nem is az egyedül lehetségek, de mindenesetre ésszerű. A hallgatóknak nemcsak a technikai alkalmazásokhoz szükséges tisztán matematikai eszközöket kívántam nyújtani, hanem magukat az alkalmazásokat is, ezért kitértem az előadásokban néhány technikai kérdésre is. Ezeket a könyv 13., 27., 29. szakasza tartalmazza. Ezek a kérdések előadásaimnak és így ennek a könyvnek is szerves részét alkotják. Vissza FÜLSZÖVEG L. Sz. Pontrjagin, Lenin-díjas akadémikus e könyve a tárgykör legkiválóbb tankönyvei közé tartozik. A világhírű matematikus mesteri tolmácsolásában tartalmazza a közönséges differenciálegyenletek klasszikus elméletének és megoldási módszereinek a természet- és műszaki tudományok szempontjából legfontosabb részeit, így a lineáris differenciálegyenletek és rendszerek tárgyalását és a stabilitáselméletet. A tárgyalás elméleti megalapozását külön rész biztosítja. Két fejezet fontos alkalmazásokkal, a centrifugális regulátorokkal és a csőgenerátorokkal kapcsolatos stabilitási problémákkal foglalkozik. A könyv csupán - a matematikai analízis elemeinek a birtokában is - könnyen olvasható. A felhasznált és nem minden elemi tárgyalásban szereplő algebrai és analízisbeli ismereteket külön függelék tartalmazza. TARTALOM A szerző előszava 7 Bevezetés 9 Elsőrendű differenciálegyenletek 9 Néhány elemi integrálási módszer 14 Az egzisztencia- és unicitási tételek kimondása 21 Az általános differenciálegyenlet-rendszer visszavezetése normál rendszerre 26 Komplex differenciálegyenletek 34 Lineáris differenciálegyenletekre vonatkozó megjegyzések 40 Állandó együtthatós lineáris egyenletek 42 Állandó együtthatós homogén lineáris egyenletek (egyszeres gyökök esete) 43 Állandó együtthatós homogén lineáris egyenletek (többszörös gyökök esete) 51 Stabilis polinomok 58 Állandó együtthatós inhomogén lineáris egyenletek 63 A kiküszöbölés módszere 68 A komplex amplitúdók módszere 76 Áramkörök 80 Állandó együtthatós homogén lineáris normál rendszer 93 Autonóm differenciálegyenlet-rendszerek és fázistereik 102 Állandó együtthatós homogén lineáris rendszer fázissíkja 114 Változó együtthatós lineáris rendszerek 126 Lineáris normál egyenletrendszer 126 n-edrendű lineáris egyenlet 136 Periodikus együtthatós homogén lineáris normál rendszerek 143 Egzisztencia-tételek 150 Az egzisztencia- és unicitási tétel bizonyítása egy egyenlet esetében 150 Az egzisztencia- és unicitási tétel bizonyítása normál egyenletrendszer esetében 159 Nem folytatható megoldások 170 A megoldás folytonos függése a kezdeti értékektől és a paraméterektől 175 A megoldás differenciálhatósága a kezdeti értékek és a paraméterek szerint 182 Első integrálok 193 Stabilitás 201 Ljapunov tétele 202 Centrifugális regulátor (Visnyegradszkij vizsgálatai) 214 Határciklusok 220 Csőgenerátor 238 Másodrendű autonóm rendszer egyensúlyi helyzetei 245 Periodikus megoldások stabilitása 262 Néhány analízisbeli probléma 278 Az euklideszi terek topológiai tulajdonságai 278 Implicit függvényekre vonatkozó tételek 291 Lineáris algebra 302 A minimálpolinom 302 Mátrixfüggvények 309 Mátrixok Jordán-féle alakja 315 Tárgymutató 321