Differenciálgeometria

TARTALOM Görbék 9 Vektor-skalár függvény 9 Térgörbék előállítása 15 Görbék ívhossza 16 Érintő és érintővektor 20 Normálsík 21 Simulósík 21 Simulókör, görbület 22 Főnormális, bionormális, kisérő triéder 25 Torzió 26 Teljes görbület. Frenet-formulák 27 A térgörbe alakja a görbe egy pontjának környezetében 30 Közönséges csavarvonal 32 Lejtővonalak vagy hengeres csavarvonalak 34 Bertrand-féle görbék 36 Négy csúcspont tétele 39 A síkgörbe és a simulókör kölcsönös helyzete 40 Magasabb rendű érintkezés 42 A simulósík és a görbe érintkezése 44 A simulókör és a görbe érintkezése 45 A simulógömb 46 Síkbeli egyparaméteres görbesereg burkolója 48 Síkgörbe evolútján és evolvense 50 Az evolvúta valódi csúcspontjai 51 Térgörbék evolútái és evolvenesei 54 Felületek 57 A felület előállítása 57 Felületi görbék, paramétervonalak 59 Érintő, érintősík, normális 60 Vonalfelület, torzfelület 61 Érintőfelület, főnormális és bionormális felület 62 Egyparaméteres síksereg burkolója 64 Polárfelület, polárgörbe, rektifikálófelület 66 Az ívhossz és az első alapforma 68 Szögmérés 69 Felületek felszíne 70 A második alapmennyiségek 71 Meusiner tétele 76 Főnormálgörbületek a Gauss-féle görbület és az összeggörbület 79 Euler tétele 82 A Dupin-féle indikátrix 84 Görbületi vonalak, konjugált irányok 88 Aszimptotavonalak 91 A Gauss- és Weingarten-féle egyenletek 93 Rodrigues képlete 96 Az aszimoptotavonalak 98 Parabolikus pontokból álló felület 99 Formaprobléma, összefüggések az alapmennyiségek között. Theorema egregium 100 Felületek egymásra való leképezései 102 A felület gömbi képe 106 Torzfelület lefejtése 106 Felületek belső geometriája 111 Mit értünk belső geometrián? 111 Geodetikus vonalak 112 Geodetikus görbület 117 Geodetikus paralekoordináta-rendszer 119 Geodetikus polárkoordináta-rendszer 122 A Gauss-féle görbület geodetikus koordináta-rendszerben 125 Geodetikus vonalak differenciálegyenlete geodetikus polárkoordináta-rendszerben 128 A Gauss-Bonnet tétel 136 Állandó görbületű felületek 144 Vektoranalízis 144 Skalármező 144 Vektormezők vonalmenti integrálja 147 Vektormező differenciálása, derivált tenzor 151 Skalár- és vektormezők felületi integrálja 152 Stokes tétele 153 Gauss és Osztrogradszkij tétele 157 Topologikus terek 160 Környezetek 160 Nyílt és zárt halmazok 160 Folytonos leképezések 161 Topologikus szorzat 162 Összefüggőség 162 Hausdorff-terek 163 Kompakt terek 164 Parakompakt terek 164 Metrikus terek 166 Differenciálható leképezések és differenciálható sokaságok 170 A deriváltoperátor 170 Inverz leképezés 174 Az implicit függvényrendszerek tétele 179 Differenciálható sokaságok 181 Differenciálható függvények és leképezések 184 Egységfelbontás 186 Differenciálható részsokaságok. Whitney beágyazási tétele 190 Reguláris leképezések 190 Differenciálható sokaságok nullmértékű részhalmazai 193 Differenciálható leképezés approximációja reguláris leképezéssel 196 Beágyazási tétel 201 Alternáló formák 204 Bevezetés 204 Permutációk 204 Lineáris formák 206 Kvadratikus külső formák 209 k-ad fokú külső formák 211 Külső szorzás 216 Külső formák a háromdimenziós euklideszi vektortéren 218 Külső formák leképezései 220 Cartan lemmája 221 Grassmann-algebra 222 Differenciálszámítás 224 Érintővektor 224 Érintőtér 225 Érintőnyaláb 227 Differenciálformák 230 Külső deriválás 231 A differenciálformák leképezései 235 Zárt és egzakt differenciálformák 239 Poincaré tétele 244 Integrálás differenciálható sokaságokon 244 Integrálás euklideszi térben. A változók transzformációja 244 Irányíthatósága 245 m-forma integrálja 247 Stokes tétele 248 Utószó 256 Tárgymutató 257