Bevezetés a véges geometriákba

A véges geometriák elmélete azok közé a tudományágak közé tartozik, amelyek századunk második harmadában alakultak ki s indultak rohamos fejlődésnek. Fejlődésének rohamos felgyorsulását háromfelé ágazó kapcsolatai idézték elő: kapcsolata az alkalmazási körökkel (statisztika, információelmélet), a modern algebrával (algebrai véges struktúrák) és a kombinatorikus analízissel (blokkrendszerek). A szerző Projektív geometria címen éveken át tartott előadásainak egy részét gyűjtötte össze ebben a könyvben. A címnek megfelelően csupán olyan ismereteket tételez fel, amelyekkel az első év után minden egyetemi hallgató rendelkezik. Részletesebben tárgyalja a Galois-sík oválisait, példát ad azonban a nemdesarguesi, a véges hiperbolikus és a véges Mőbius-síkra is. Mind csoport-elméleti, mind a koordinátarendszerrel dolgozó, mind a kombinatorikai módszert ismeretei. A könyvben található példák segítségével az olvasó bizonyos jártasságot szerezhet a témakörben végzendő kutatómunkához. A könyv első fejezete olyan önálló egység, mely a középiskolai tananyagnál több előismeretet nem kíván, s a modern matematika iránt érdeklődők minden nehézség nélkül olvashatják. Tartalom Jelölése Előszó A véges geometriák alapvető ismertetése 1 A véges sík fogalma 1 Izomorf síkok, illeszkedéstáblák 4 Véges síkok szerkesztése, ciklikus síkok 7 Véges projektív sík T-táblája 11 Koordinátarendszer a véges síkon 17 A Galois-síkok és a Galois-testek fogalma 20 Véges projektív sík zárt részsíkja 26 A véges affin sík fogalma 29 Különféle véges hiperbolikus síkok 30 A Galois-síkok és Desargues tétele 34 Egy nem Desargues-féle sík 42 A véges sík kollinenációicsoportja 45 A véges affin sík és a véges regulársi hiperbolikus sík egyenestartó leképezései 53 A véges projektív sík és a latin négyzetek teljes ortogonális rendszerének kapcsolata 57 A lineáris függvények kompozíciója és a D (X, Y)-sík 67 Feladatok és gyakorlatok 77 Galois-geometriák 83 A Galois-terek fogalma 83 A Galois-tér mint altereinek alakzata 86 Pappos tételének általánosítása a Galois-síkokon 93 Koordinátarendszer Galois-síkon 97 Lineáris helyettesítéssel meghatározot leképezés 105 Adott négyszög lineáris leképezése adott négyszögre 107 Az ovális fogalma véges síkokon 110 Kúpszeletek a Galois-síkokon 113 A páros rendű Galois-síkok másodrendű pontalakzatai 118 A páros rendű Galois-síkok másodrendű görbéinek kanonikus egyenlete 123 A páratlan rendű Galois-síkok másodrendű pontalakzatai 126 Két projektív sugársor képződménye 130 Segre tétele 134 A Galois-síkok előállítására vonatkozó kiegészítő megjegyzések 139 A kollineáció és a homográfia Galois-síkokon 145 A véges projektív sík karakterisztikája 147 Galois-síkot önmagára leképező kollinecáiók összessége 150 A Desargues-féle véges síkok 155 Feladatok és gyakorlatok 168 Geometriai konfigurációk és hálózatok 170 A geometriai konfigurációk fogalma 170 Két egymásba írt ötszög 172 Az ötszögtétel és a Desargues-konfiguráció 176 A geometriai hálózatok fogalma 183 A csoport és a MR-hálózat kapcsolata 187 Feladatok és gyakorlatok 189 A véges geometriák néhány kombinatorikai alkalmazása 191 A hiperbolikus tér egy záródási tétele 191 Gráfokra vonatkozó alapvető ismeretek 193 A Petersen-gráf általánosításai 197 Egy kombinatorikai szélsőérték-feladata 201 A Desargues-konfiguráció gráfja 203 Feladatok és gyakorlatok 204 Kombinatorika és a véges geometriák 206 Kombinatorikai alapismeretek 206 A körgeometria két alaptétele 210 A véges körgeometria és a t-(v, k, lambda) blokkrendszer 215 A Möbius-síkokon érvényes általános tételek 218 Az illeszkedési rendszer és a t-blokkrendszer 222 Feladatok és gyakorlatok 224 Válogatott témák a véges geometriák köréből 226 A Fano-síkok és Gleason tétele 226 Új síkok származtatása Galois-síkokból 239 Az affin sík fogalmának egy általánosítása 248 Feladatok és gyakorlatok 251 Függelék 256 Algebrai struktúrákkal kapcsolatos jegyzetek 256 A véges testekkel és a számelméleti kapcsolatos jegyzetek 264 Planáris ternér struktúrákra vonatkozó jegyzetek 267 Irodalom 271 Tárgymutató 273