Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba

FÜLSZÖVEG A könyvben használt terminológiával élve azt mondhatjuk, hogy ez a könyv az első angol nyelvű kiadás megjelenése óta szinte példa nélküli sikersorozatot ért el a világ számos országában és ennek alapján joggal állíthatjuk, hogy örökifjú tulajdonságú. Ennek az átütő sikernek magyarázata elsősorban az, hogy igen elemi, sokak által elsajátított matematikai eszközök felhasználásával a valószínűségszámításban igen messze jut el. Népszerűségének másik titka, hogy sikeresen egyezteti össze a szigorú tárgyalást (amit a matematikusok igényelnek) a heurisztikával (ami a matematikát alkalmazók számára könnyíti meg a megértést). További érdeme, hogy példaanyagát a valódi alkalmazás talajáról, mégpedig a gyakorlati élet változatos területeiről válogatja össze. A könyv lényegében csak a diszkrét valószínűségeloszlásokkal foglalkozik. A binominális eloszlástól a nagy számok törvényén, a centrális határeloszlás-tételen és a generátorfüggvényeken át eljut az elágazó véletlen folyamatokig, a véletlen bolyongásig, a Markov-láncok elméletéig, a legegyszerűbb folytonos paraméterű (születési és halálozási) folyamatok, sorbanállási problémák tárgyalásáig. TARTALOM Előszó a harmadik kiadáshoz 11 Előszó az első kiadáshoz 13 Hogyan használjuk a könyvet? 15 A valószínűségszámításról általában 17 Az alapok 17 A tárgyalásmódról 19 "Statisztikai" valószínűség 20 Összefoglalás 21 Történeti megjegyzések 21 Az eseménytér 23 A valószínűségszámítás tapasztalati háttere 23 Példák 25 Eseménytér, események 28 Műveletek eseményekkel 29 Diszkrét eseménytér 32 Valószínűségek diszkrét eseményterekben. Előkészületek 33 Alapvető definíciók és szabályok 36 Kitűzött feladatok 37 Valószínűségek kiszámítása kombinatorikus meggondolásokkal 40 Bevezetés 40 Mintavétel a sorrend figyelembevételével 42 Példák 44 Részsokaság és partíció 46 Elhelyezési feladatok 50 A hipergeometrikus eloszlás 56 Várakozási idővel kapcsolatos példák 59 Binomiális együtthatók 61 Stirling-formula 63 Gyakorlatok és példák 65 Feladatok és elméleti jellegű kiegészítések 69 Binomiális együtthatókra vonatkozó feladatok és azonosságok 73 Véletlen ingadozások a pénzfeldobásban és a bolyongásokban 77 A tükrözési elv 78 Bolyongás: alapfogalmak és jelölések 82 Alapvető segédtételek 85 Utolsó visszatérés és hosszú vezetés 86 Előjelváltások 91 Szemléltető kísérlet 94 Maximumok és első elérések 95 Dualitás. A maximumok elhelyezkedése 98 Az egyenletes eloszlásra vezető tétel 100 Feladatok 101 Eseménypolinomok 104 Események egyesítése 104 Alkalmazás. A klasszikus elrendezési feladat 107 m esemény bekövetkezése N esemény közül 112 Alkalmazás. Egybeesések, felismerés 113 Különböző kiegészítések 115 Feladatok 117 Feltételes valószínűség. Sztochasztikus függetlenség 119 Feltételes valószínűség 119 Feltételes valószínűségekkel definiált valószínűségek. Urnamodellek 123 Sztochasztikus függetlenség 129 Szorzatterek. Független kísérletek 132 Örökléstani alkalmazások 135 Nemhez kötött jellegzetességek 139 Szelekció 141 Feladatok 142 A binomiális és a Poisson-eloszlás 148 Bernoulli-kísérletsorozat 148 Binominális eloszlás 149 Centrális tag és a farok 149 Nagy számok törvénye 153 A binominális eloszlás közelítése a Poisson-eloszlással 154 A Poisson-eloszlás 157 Poisson-eloszlást követő megfigyelések 160 Várakozási idő. A negatív binominális eloszlás 165 A polinomiális eloszlás 168 Feladatok 169 Binomiális eloszlás közelítése normális eloszlással 174 Normális eloszlás 174 Bevezetés. Szimmetrikus eloszlások 178 A Moivre-Laplace-tétel 181 Példák 185 A normális és a Poisson-féle közelítés kapcsolata 187 Nagy eltérések 189 Kitűzött feladatok 191 Végtelen Bernoulli-kísérletsorozatok 193 Végtelen kísérletsorozatok 193 Játszmakiválasztási stratégiák 195 Borel-Cantelli-lemmák 197 A nagy számok erős törvénye 199 Az iterált logaritmus tétele 201 Egy számelméleti alkalmazás 204 Kitűzött feladatok 206 Valószínűségi változók. Várható érték 208 Valószínűségi változók 208 Várható érték 216 Példák és alkalmazások 218 A szórásnégyzet 222 Kovariancia. Összeg szórásnégyzete 223 A Csebisev-egyenlőtlenség 227 A Kolmogorov-egyenlőtlenség 228 A korrelációs együttható 229 Feladatok 230 A nagy számok törvénye 237 Azonos eloszlású valószínűségi változók 237 A nagy számok törvényének biztosítása 240 Az "igazságos játékok" elmélete 242 A "pétervári" játék 244 Nem azonos eloszlású valószínűségi változók 246 Kombinatorikai alkalmazások 249 A nagy számok erős törvénye 251 Feladatok 253 Egész értékű valószínűségi változók. Generátorfüggvény 256 Alapfogalmak 256 Konvolúció 258 Egyensúlyi állapotok és várakozási idők a Bernoulli-kísérletsorozatban 261 Parciális törtekre bontás 266 Kétváltozós generátorfüggvény 269 A folytonossági tétel 270 Feladatok 272 Összetett eloszlások. Elágazó folyamatok 276 Véletlentől függő tagszámú összegek 276 Az összetett Poisson-eloszlás 278 Példák elágazó folyamatra 283 A kihalás valószínűsége az elágazási folyamatban 285 Az utódok összlétszáma az elágazó folyamatokban 187 Feladatok 289 Rekurrens események. Felújítási elmélet 291 Szemléletes alapfogalmak és példák 291 Definíciók 295 Alapvető összefüggések 298 Példák 300 Késleltetett rekurrens események. Egy általános határeloszlástétel 303 E bekövetkezéseinek száma 306 Alkalmazás: kedvező futamok 308 Bonyolultabb rekurrens történések 312 Emlékezet nélküli, geometriai eloszlású várakozási idők 313 Felújítási elmélet 314 Az alaptétel bizonyítása 320 Feladatok 322 Bolyongás. A tönkremenés problémája 326 Alapfogalmak 326 A klasszikus tönkremenési probléma 328 A játék várható időtartama 331 A játék időtartamának és az első elérés időpontjának generátorfüggvényei 332 Explicit kifejezeések 335 Kapcsolat a diffúziós folyamattal 337 Bolyongás a síkon és a térben 341 Általánosított egydimenziós bolyongás (szekvenciális mintavétel) 344 Feladatok 347 Markov-láncok 352 A Markov-lánc fogalma 352 Példák 355 Többlépéses átmenetvalószínűségek 361 Állapotok zárt halmazai 363 Az állapotok osztályozása 365 Irreducibilis Markov-láncok. Felbontások 368 Invariáns eloszlások 370 Átmeneti állapotok 375 Periodikus láncok 379 Kártyakeverési feladatok 381 Invariáns mértékek. Hányados határeloszlás-tételek 383 Fordított láncok. Peremek 388 Általános Markov-láncok 392 Feladatok 396 Véges Markov-láncok algebrai tárgyalása Általános elmélet 400 Példák 404 Bolyongás visszaverő falakkal 407 Ámeneti állapotok. Elnyelési valószínűségek 409 Alkalmazás. Visszatérési idők 413 A legegyszerűbb folytonos paraméterű sztochasztikus folyamatok Általános tudnivalók. Markov-folyamatok 415 Poisson-folyamat 416 A tiszta születési folyamat 419 Divergens születési folyamat 421 A születési-halálozási folyamat 424 Exponenciális időtartamok 427 Sorbanállási és kiszolgálási problémák 430 Fordított (retrospektív) egyenletek 436 Általános folyamatok 438 Feladatok 445 Megoldások 450 Tárgymutató 468