Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Matematikát tanulni anélkül, hogy feladatokon, problémákon is gondolkodnánk, keveset ér. A feladatok nemcsak új oldalakról világítják meg, és egyúttal mélyítik is fogalmainkat, valamint azokról szerzett ismereteinket, hanem megoldásuk során azt is ellenőrizhetjük, hogy fogalmaink, ismereteink helyesek-e. A feladatok megoldása fejleszti szemléletünket, hozzásegít ahhoz, hogy "érezzük" a megtanult anyagot, és ami szintén igen fontos, kialakítja és fejleszti az önálló munkára, a problémamegoldó gondolkodásra való készségünket. A feladatok bevezethetnek a nyert ismeretek alkalmazásaiba is. A legtöbb matematikai tankönyv tartalmaz feladatokat is. Általában azonban ezek kifejezetten csak gyakorló jellegűek, kisszámúak, és megoldás nélkül szerepelnek. A magyar nyelven megjelent valószínűségszámítási tankönyvek (Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, 1954; Prékopa András: Valószínűségelmélet, 1962; Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás, 1966) aránylag sok feladatot - s nem csak gyakorló jellegűeket - tartalmaznak, mégis az előbbi megállapítások részlegesen azokra is érvényesek. Tartalom A feladatgyűjteményről 11 Feladatok A valószínűségszámítás alapjai. Véletlen események, valószínűség 17 A véletlen események közötti összefüggések. Eseményalgebrák 17 Megfigyelhető események 19 Boole-algebrák 21 Eseménypolinomok 23 Kvalitatív függetlenség 24 Teljes eseményrendszerek 25 Valószínűségekre vonatkozó azonosságok és egyenlőtlenségek 27 Lineáris egyenlőtlenségek és egyenlőségek 29 Kvadratikus egyenlőtlenségek és egyenlőségek 31 Véges valószínűségi mezők. Valószínűségek kombinatorikus kiszámítási módja 32 Valószínűségek geometriai kiszámítási módja 39 Feltételes valószínűség. A teljes valószínűség tétele. Bayes tétele 41 Feltételes valószínűség 41 A teljes valószínűség tétele 43 Bayes tétele 46 Események függetlensége. Felcserélhető események 48 Események függetlensége 49 Felcserélhető események 50 Duplán sztochasztikusan függő események 52 Valószínűségi változók és jellemzőik 53 Valószínűségi változó eloszlása és eloszlásfüggvénye. Sűrűségfüggvény 53 Eloszlás és eloszlásfüggvény 53 Sűrűségfüggvény 56 Nevezetes eloszlások 58 Vegyes feladatok 60 Többváltozós eloszlás- és sűrűségfüggvény. Vetület- és peremeloszlás 61 n-változós eloszlások 61 Vetület- és peremeloszlás 62 Nevezetes többváltozós diszkrét eloszlások 62 Sűrűségfüggvény 63 Nevezetes többváltozós folytonos eloszlások 64 Feltételes eloszlás- és sűrűségfüggvények. A teljes valószínűség tételének analogonjai 66 Diszkrét eset 66 Feltételes eloszlás 67 A teljes valószínűség tétele 69 Valószínűségi változók függetlensége. A valószínűségi változók közötti függőség egyszerű formái 69 Függetlenség 69 Megbízhatóságelmélet 72 Készletezés 72 Duplán sztochasztikus függőség 73 Valószínűségi változók jellemzői: várható érték, szórás, magasabb momentumok. Feltételes várható érték 75 Várható érték 75 Összeg várható értéke 77 Feltétels várható érték 78 A szórás 80 Összeg szórása 81 Magasabb momentumok 82 A feltételes várható érték általános fogalma 83 Vegyes feltételek 85 Valószínűségi változók függvényének eloszlás- és sűrűségfüggvénye. Összeg, különbség, szorzat és hányados eloszlása 88 A sűrűségfüggvények meghatározása 88 Valószínűségi változók függvényei 89 Véletlen determinások 91 Összeg és különbség 92 A konvolúció 93 Szorzat és hányados 96 Rendezett minta 96 Empirikus eloszlásfüggvény 99 A korrelációs együttható 99 A korrelációs hányados 101 A generátorfüggvény és a karakterisztikus függvény 102 Karakterisztikus függvény 104 A nagy számok törvényei. Határeloszlás-tételek 109 Valószínűségeloszlások konvergenciája. Egyenlőtlenségek 109 Markov-egyenlőtlenség 113 Csebisev-egyenlőtlenség 113 A nagy számok törvényei 114 Sztochasztikus konvergencia. A nagy számok gyenge törvénye 114 A nagy számok erős törvénye. Borel-Cantelli-lemma 116 Határeloszlás-tételek 120 Keverő és stabilis eseménysorozatok. "A nulla vagy egy"- törvény 129 Sztochasztikus folyamatok 135 Markov-láncok 135 A tanulás folyamatának statisztikai elméletéből 143 A Poisson-folyamat és alkalmazásai 144 Forgalmi problémák 146 Sorbanállási problémák 148 Véletlen ponteloszlások 148 Független növekményű folyamatok 149 Rekurrens folyamatok 152 Útmutatások az I. fejezethez 163 a II. fejezethez 172 a III. fejezethez 178 a IV. fejezethez 187 Megoldások, végeredmények az I. fejezethez 193 a II. fejezethez 218 a III. fejezethez 268 a IV. fejezethez 296 Irodalomjegyzék 325 Tárgymutató 329 Fontosabb jelölések 331