Numerikus analízis

ELŐSZÓ C. G. J. Jacobi (1804-1851), a híres königsbergi matematikus (az 1.7. szakaszban szereplő Jacobi-mátrix névadója) egyszer kijelentette: "A matematika egyedül és kizárólag az emberi szellem dicsőségét szolgálja." Ennek ellenére, az idők során a matematikát szünet nélkül alkalmazták, vagyis felhasználták arra, hogy segítségével alakítsák az ember és fizikai környezete közötti kapcsolatot. A régi babilóniak Püthagorasz tételének speciális esetei alapján derékszögeket állítottak elő. A kyrenei Eratoszthenész (i. e. 290-214) tudta, hogy a Föld gömb alakú, és elemi trigonometria segítségével a sugarát is meghatározta. Arkhimédész (i. e. 285-215) számos matematikai felfedezésen túl felfedezte a statika alaptörvényeit, és azok felhasználásával olyan harci gépeket tervezett, amelyekkel hazája, Syrakuza két éven át állt ellen a rómaiak ostromának. Johannes Kepler (1571-1630) a kúpszeletek segítségével a bolygók mozgását magyarázta meg. Isaac Newton (1643-1727) megfogalmazta a dinamika alaptörvényeit, és a teljes égi mechanikát egyetlen matematikai formulára, a gravitáció törvényére vezetett vissza, amely a mesterséges holdak és űrhajók pályáinak számítási eszköze. Leonhard Euler (1707-1783) svájci matematikus még diákkorában elnyerte a Párizsi Akadémia díját értekezésével, amely arról szólt, hogyan kell elosztani egy hajó terhelését. Összegyűjtött munkái a matematika számos numerikus alkalmazására mutatnak példát a fizika akkor ismert valamennyi ágában. Karl Friedrich Gauss (1777-1855) mint igen tevékeny csillagász felfedezte a legkisebb négyzetek módszerét, amely az alkalmazott matematika egyik legfontosabb eszköze. Bernhard Riemann (1826-1866), akit sokan a XIX. század legnagyobb matematikusának tartanak, a manapság matematikai fizikának nevezett elmélet alapjait vetette meg. Henri Poincaré (1854-1912), a modern topológia megalapítója háromkötetes összefoglaló könyvének az Égi mechanika címet adta. Vissza TARTALOM Előszó 7 Bevezetés 10 Alapműveletek 13 A számítógép diszkrét-számrendszere 13 M nem test 16 A kiegyszerűsödés 20 A kiejtés 31 Numerikus instabilitás 37 A kerekítési hibák tovaterjedésének egy modellje 42 Egy feladat kondionáltsága 52 Iteratív módszerek 62 Skaláriteráció 63 Konvergenciasebesség, konvergenciagyorsítás 75 Nemlineáris egyenletek megoldása 85 Egyenletrendszerek iterációja 97 Kvadratikus konvergencia iterációs vektorsorozatokkal 103 Rekurzió 115 Lineáris differenciaegyenletek 115 A Bernoulli-módszer 124 A hányados-differencia-algoritmus 140 Kiküszöbölési eljárás 154 A Gauss-féle kiküszöbölési eljárás 154 Az L-R felbontás 164 A legkisebb négyzetek módszere 173 A felcserélési algoritmus 184 Lineáris egyenlőtlenségek, optimalizálás 192 Aproximáció 201 A két aproximációs tétel a klasszikus analízisből 202 Az interpolációs polinom 206 Az interpolációs polinom hibája 209 Az interfpolációs polinom numerikus előállítása 214 A polinominterpoláció kondicionáltsága 222 A Hermite-féle interpoláció 229 Az inverz interpoláció 233 Spline-interpoláció függvény előállítása 243 Integrálás 250 Határozott integrálok: a feladat kitűzése 250 Az Euler- MacLaurin összegezési képlet 257 A Rombert-algoritmus 263 Közönséges differenciálegyenletekre vonatkozó kezdetiérték-problémák: egylépéses módszerek 273 Közönséges differenciálegyenlet-rendszerek 283 Trapézszabály:stabilitás 288 A pontosság biztosítása 297 Periodicitás 303 Trigoometrikus interpoláció 304 Egy baricentrikus formula 310 Fourier-sorok 318 A trigonometrikus itnerpoláció hibája 330 A "gyors" Fourier-transzformáció létezése 330 A "gyors" Fourier-transzforjáció számítógépes megvalósítása 339+ A konvolúció 346 Idősorok 356 Irodalom 363 Tárgymutató 367