Katasztrófaelmélet és alkalmazásai

ELŐSZÓ René Thom készülő művéről, a Stabilité Structurelle et Morphogénése-ről az első hírek a hatvanas évek közepén kezdtek szállongani. A könyv végül 1972-ben jelent meg, időközben rohamosan nőtt az érdeklődés az iránt, amit ma katasztrófaelméletnek neveznek. Thom kezdeményezésének lényege, hogy természeti és különösen biológiai jelenségeknél a nem folytonos változások leírására a dinamikus rendszerek topologikus elméletét alkalmazza. Ezek vizsgálatát Poincaré kezdte meg, közel száz évvel ezelőtt. Thom felhívta a figyelmet a strukturális stabilitás - azaz a kis változásokkal szembeni érzéketlenség - fontosságára. Rámutatott, hogy - bizonyos ésszerű megszorítások mellett - a vizsgált rendszerek hét osztályba sorolhatók, más szóval, hogy a nem folytonos változás lényegében hétféle lehet, ezek modelljeit nevezi Thom elemi katasztrófáknak. A heves érdeklődést később zűrzavar, majd újabban nem kevésbé heves ellenállás követte. Kellő alátámasztás nélkül túl sokat hangoztattak egyesek az elmélet kezdet idejéből származó és az elméletet univerzálisnak kikiáltó kijelentéseket, amelyek részint az elemi és nem elemi katasztrófák összetévesztésén alapultak, részint az újdonság iránti fiatalos lelkesedéssel magyarázhatók. Egyes körökben elterjedt, hogy az elmélet tisztán kvalitatív, ami azután élesen elválasztotta azokat, akik az ilyesmit jónak tartják azoktól, akik nem. Az előzmények (mint majd a 7. fejezetben látni fogjuk, szükségszerűen) széles köre egyesekben azt a benyomást keltette, hogy az egészben nincsen semmi új. Voltak, akik az elméletet olyan területekre is megpróbálták kiterjeszteni, ahol az nem támasztható alá megfelelő matematikai formalizmussal, és ezt alkalmazásként állították be. Az ennek nyomán fellángoló viták rossz fényt vetettek olyan területekre is, ahol a nehézségek egészen más természetűek. A félreértések oka főleg az a matematikai formalizmus, amelyen az elmélet megfogalmazható. Egyes matematikusok hajlamosak arra, hogy túlzottan hangsúlyozzák az elmélet olyan problémáit, amelyek a gyakorlatban dolgozó kutató tudós számára nem túl érdekesek. Amikor Turingot hibáztatták azért, hogy a számítógépek csak determinisztikusan képesek működni, azt felelte, hogy tőle ezt kérték. Ugyanez a helyzet a topológusokkal, akik a katasztrófákat csak kvalitatíve írják le, azzal a különbséggel, hogy tőlük ezt senki sem kérte. Aki számokat akar, az kapjon számokat, a legtöbb topológus nem számokra kíváncsi, hanem kvalitatív tulajdonságokra, még akkor is, ha ezek néha külsőre ijesztő algebrai kifejezésekkel vagy éppen számokkal írhatók le. Súlyosbította a problémát a forrásmunkák hiánya, amelyek áthidalták volna a népszerűsítő irodalom és a modern topológia közötti szakadékot. Vissza TARTALOM Előszó 9 Folytonos és hirtelen változások 13 Katasztrófák 13 Zeeman katasztrófagépei 14 Gravitációs katasztrófagépek 15 Katasztrófaelmélet 17 Többdimenziós geometria 18 Halmazelméleti alapfogalmak 18 Az euklideszi tér 20 Lineáris transzformációk 21 Mátrixok 23 Kvadratikus alakok 25 Kétváltozós harmadfokú alakok 27 Polinomok geometriája 31 Többváltozós analízis 34 Távolságok az euklideszi térben 34 A derivált mint érintő 35 Nívófelületek 37 Parciális deriváltak 38 Magasabbrendű deriváltak 38 Taylor-sorok 39 Csonkított algebra 41 Az inverzfüggvény-tétel 42 Az implicitfüggvény-tétel 42 Kritikus pontok, transzverzalitás 44 Kritikus pontok 44 A Morse-lemma 46 Egyváltozós függvények 47 Többváltozós függvények 49 A felbontási lemma 50 Strukturális stabilitás 51 Sokaságok 52 Transzverzalitás 53 Transzverzalitás és stabilitás 57 Transzverzális leképezések 58 Kodimenzió 59 Vissza a katasztrófagépekhez 60 Zeeman katasztrófagépe 60 A kanonikus csúcskatasztrófa 62 Zeeman gépének dinamikája 65 Gravitációs katasztrófagépek 68 A feladat általános megfogalmazása 69 Strukturális stabilitás 70 Függvénycsaládok ekvivalenciája 70 Függvénycsaládok strukturális stabilitása 72 A strukturális stabilitás fizikai interpretációi 73 A Morse-lemma és a felbontási lemma függvénycsaládok esetén 74 Katasztrófageometria 75 Thom osztályozási tétele 76 Függvények és függvénycsaládok 76 Egyparaméteres függvénycsaládok 77 Nem transzverzális metszés és szimmetria 81 Kétparaméteres függvénycsaládok 83 Három-, négy- és ötparaméteres függvénycsaládok 86 Magasabbrendű katasztrófák 89 Thom tétele 91 Determináltság és kifejtés 93 Determináltság és erős determináltság 94 Egyváltozós szelettér 95 Infinitezimális koordinátatranszformációk 97 Gyengébb determináltsági feltételek 100 Az origót elmozdító transzformációk 101 Érintők és transzverzálisok 102 Kodimenzió és kifejezés 105 Transzverzalitás és univerzalitás 109 Kifejtések erős ekvivalenciája 111 Szingularitások jellemző adatai 111 Egyenlőtlenségek 113 Az eredmények és a számítási módszerek összefoglalása 113 Példák és számítások 118 A szóhasználattal kapcsolatos számítások 122 A hét elemi katasztrófa 123 Vizsgálatunk tárgya 123 Az áthajláskatasztrófa 124 A csúcskatasztrófa 124 A fecskefarok-katasztrófa 125 A pillangókatasztrófa 128 Az elliptikus umbilikus katasztrófa 130 A hiperbolikus umbilikus katasztrófa 132 A parabolikus umbilikus katasztrófa 134 Vonalfelületek 138 Hajók stabilitása 140 Statikus egyensúlyi helyzetek 140 A felhajtóerő 140 Az egyensúly 140 Stabilitás 141 Függőleges oldalú hajók 141 A vízkiszorítási súlypontok görbéje 142 Metacentrumok 143 Hajóalakok 144 Az elliptikus hajó 144 A téglalap alakú hajó 146 Háromdimenziós hajó 150 Úszó olajfúró tornyok 152 A katasztrófaelmélet összehasonlítása a szokásos eljárásokkal 154 A folyadékok geometriája 158 A folyadékok mechanikája 158 Fejezetünk tárgya 158 Áramfüggvények 159 Néhány áramlás 161 A rotáció 161 Komplexfüggvénytani módszerek 163 Stabilitás és kísérletek 163