Differenciálgeometria I.

TARTALOM Bevezetés 3 Vektoranalízis 7 Normáltvektortér 7 Sorozatok 9 Konvergencia 9 Cauchy-sorozat 11 Függvények 13 Kompaktság 13 Egységgömb 15 Leképezések 16 Folytonosság 19 Teljes inverz kép 20 Egyenletes folytonosság 21 A norma ekvivalenciája 24 A konvergencia tükröződése a koordinátákban 26 A folytonosság tükröződése a koordinátákban 27 Leképezések 29 Homeomorfizmus 29 Kompaktság 31 Szorzás a Banach-térben 31 Homogén lineáris függvények 32 2-ed rendű tenzor (affinor) 32 Speciális tenzorok 34 Műveletek a tenzorok között 34 A tenzorok normált lineáris tere 37 Tenzorok algebrája 38 A tenzor matrixa 39 Kovariáns és kontravarians koordináták 41 Tenzorsorozatok konvergenciája 43 A differenciálhányados 44 A derivált definíciója 44 A derivált egy másik definíciója 46 Differenciálási szabályok 47 A derivált tenzor koordinátái 51 Vektor-skalár függvény 53 Skalár-függvény. A gradiens és az iránymenti derivált 54 Nabla-vektor (Hamilton-féle operátor) 56 Vektor-vektor függvény 58 Vektor-skalár függvények 59 Homogén-lineáris vektor-skalár függvény 59 Differenciálási szabályok 60 Az erős derivált 62 A középértéktétel 65 Skalár-vektor függvény 67 Homogén-lineáris skalár-vektor függvény 67 Differenciálási szabályok 68 A középértéktétel 69 Vektor-vektor függvény 69 Két vektor diadikus szorzata vektor és tenzor vektoriális szorzata 69 Adjungált tenzor 71 Differenciálási szabályok 73 A tenzor invariánsai 75 Sziimetrikus és antiszimmetrikus (ferdén szimmetrikus) tenzor 75 A skalár invariáns 77 A vektorinvariáns 78 Alaprelációk 79 Számolási szabályok 82 A vektor-vektor függvény derivált tenzorának invariánsai 85 Divergencia és rotáció 85 Számolási szabályok 85 Számolás a nablával 87 Számolás a nablával 88 A Laplace-operator 90 Görbeelmélet 91 Görbék 91 Az elemi ív 91 Irányított görbe 92 Paramétertranszformáció 94 A térgörbe 95 Alakzatok konvergenciája 95 Az érintő 99 Normálsík 99 Az ívhossz 100 A ívhossz definíciója 100 Az ívhossz kiszámítása 104 Ívhossz paraméter (természetes paraméter) 106 Görbület 107 A görbület definíciója 107 Szögsebesség 108 A görbület kiszámítása 109 A kiserő triéder. I. Frenet-formula 110 Síkgörbe görbülete 111 Sebesség és gyorsulás vektor 112 Simulósík 113 Rektifikáló sík 115 Simulókör 116 Reciprovektorhármas 120 Torzió 121 A torzió definíciója 121 Előjeles szögsebesség 122 A torzió kiszámítása 123 Frenet-formulák és a Darboux vektor 124 A Frenet-formulák 124 A Darboux vektor 125 Szögsebességvektor 126 Síkgörbe torziója 127 Simulógömb 127 A térgörbe természetes egyenlete 131 A természetes egyenlet 132 Invariáns bázis 133 A csavarvonal 133 Általánosított csavarvonal 135 Önmagukban eltolható görbék 135 A térgörbe vetületei a kísérő triéder síkjaira 137 Normálegyenlet 139 Vonalfelületek 140 Vonalfelület. Torzfelület 140 Mozgások 145 Elmozdulás. Mozgás 145 A sík elmozdulásai 145 A sík mozgása síkban. Momentán centrum 148 A tér elmozdulásai 153 Tér mozgása térben 157 A burkoló 157 A burkoló létezésének szükséges és elégséges feltétele 157 Példák a burkolóra 161 Evoluta-evovulens 162 Az evoluta ív hossza a görbületi sugarak különbsége 164 Felületek 167 A felületek és osztályozásuk 167 Elemi felület. Nyílt és zárt felület 167 Nemszám. Euler-karakterisztika 168 Kétoldalú és egyoldalú felület 169 A felületek osztályozása 171 A felület megadási módjai 173 Skalár-vektor függvénnyel való megadás 173 Gauss-féle megadás 174 Euler-Monge-féle megadás 177 Kapcsolat a különböző megadási módok között 179 Paramétertranszformáció 183 Felületi görbék a felület érintősíkja 186 Felületi görbe, felületi vektor 186 Érintősík 187 Az érintősík difinícióinak ekvivalenciája 189 Ekvivalens vektorsorozatok 190 Az ekvivalencia bizonyítása 194 Felületi vektormező 199 Nívógörbék 200 Ívhossz és szögmérés a felületen 201 Ívhossz. Első alapforma 201 Szögmérés 203 A Gauss-féle főmennyiségek egy más jelölése 204 Felületi görbék görbülete 205 Másodrendű Gauss-féle főmennyiségek. Második alapforma 205 Felületi görbék görbülete 206 Meusnier-tétele 209 Normálmetszet 209 Meusnier-tétele 210 A normálgörbület előjele 211 Euler-tétele, a főgörbületek és főirányok meghatározása, a felület görbülete 213 Euler-tétele 213 Minkowski-görbület. Gauss-görbület 215 Az összeg és szorzatgörbület Euler-Monge-féle megadásnál 217 Középgörbület 218 Főirányok meghatározása 219 A Dupin-féle indikatrix, a felület pontjainak osztályozása 221 Dupin indikatrix 221 Simuló paraboloid 225 A felület pontjainak osztályozása 227 A forgásfelület pontjainak osztályozása 228 A Gauss- és Weingarten-féle derivációs formulák 230 A Gauss-féle derivációs formulák 231 Weingarten-féle derivációs formulák 233 Az elsőfajú Christoffel-féle szimbólumok 234 Összefüggések az E, F, G, L, M, N között 235 A Theorema egregium 236 A Mainardi-Codazzi-féle formulák 237 Bonnet-féle fő tétel 237 Hajlítás 238 Síkba fejthető felületek 240 Nevezetes vonalak a felületen 246 Konjugált irányok a felületen 246 Konjugált görbesereg 248 Aszimptotikus vonalak 249 Görbületi vonalak 252 Geodetikus vonalak 253 Geodetikus vonal 253 Geodetikus görbület 255 Stacionárius és extremális görbék 257 Az ívhossz variációja 259 Geodetikus mező 261 A geodetikus görbület hajlítással szemben invariáns 263 A paramétervonalak geodetikus görbülete 266 A felület felszíne 267 A felszín definiálásának problémája 267 A felület felszínénsek kiszámítása 272 Kiegészítések 275 "Az érintő pikkelyrendszer" 277 Az érintő tüskerendszer 278 Élszög korlátozás a paramétersíkban 278 Minimálfelület 281 IV. rész Integrálok 285 Görbementi integrál 285 Felszíni integrál 287 Minimálfelület 289 A felületi integrál 290 Tartományon vett integrál 294 Stokes-tétele 294 Egyenletesen differenciálható függvények 294 Stokes-tétele 296 Cirkuláció 299 Gauss-Osztrográdszkij-tétel 301 Gauss-Osztrográdszkij-tétel 301 Green-tétel 305 A Gauss-Bonnet-tétel 306 A felület gömbi képe 306 A síkgörbe körképe 308 A Gauss-Bonnet-tétel 309 A geodetikus háromszög 313 Jacobi-tétele 313 Állandó görbületű felületek 314 Tractrix. Pszeudoszféra 314 A geodetikus háromszög szögösszege 316 A vonalelem és a hajlítás 317 Izometrikus leképezés 320 A párhuzamos eltolás 321 A térgörbe kísérő triédere 321 A felület kísérő triédere 323 Forgási együttható 325 A kovariáns differenciál 327 Párhuzamos eltolás a felületen 328 Görbevonalú koordinátás a háromdimenziós Euklidesi térben 331 Görbevonalú koordináták 331 A differenciál görbevonalú koordinátákban 332 Példa a görbevonalú koordináta rendszerre 334 A gradiens görbevonalú koordináta rendszerben 335 Irodalom 337