Az alkalmazott matematika elemei

Ez a könyv nem rendszeres tankönyv, inkább olyan útikönyvféle a felsőbb matematikai alkalmazásába. Egyszerű fizikai példák és különböző matematikai feladatok segítségével szeretnénk megismertetni Olvasóinkat azokkal a gondolatokkal és módszerekkel, amelyek lépten nyomon előbukkannak a matematikai fizikai, technikai és más irányú felhasználása során. Nem matematikus Olvasóink aligha hallottak e gondolatok és módszerek egyikéről-másikáról, amilyenek például a delta-függvény, a szuperpozíció elve vagy az aszimptotikus kifejezések. A matematikai tankönyvek nemigen szokták tárgyalni ezeket a kérdéseket - könyvünk többek között éppen ezt a hiányosságot akarja pótolni. De nemcsak ez a célunk. Szeretnénk megvilágítani a matematikai módszerek lényegét, a jelenségek közös törvényszerűségeit. Ahol csak lehet, elhagytuk a formális bizonyításokat, a minimálisra korlátozva a kivételeket és a bonyodalmat okozó tényezőket. Cserébe viszont néhány helyen mélyebben behatolunk a vizsgált folyamatok fizikai lényegébe. TARTALOM: A szerzők előszava 9 Numerikus módszerek 12 Numerikus integrálás 12 Sorösszegek kiszámítása integrálokkal 19 Egyenletek numerikus megoldása 27 Megoldások 35 Kísérleti eredmények matematikai feldolgozása 38 Táblázatok és differenciák 38 Táblázattal megadott függvények integrálása és differenciálása 43 A tapasztalati adatokhoz illeszkedő képlet meghatározása a legkisebb négyzetek módszerével 48 A képletmegválasztás grafikus módszere 54 Megoldások 61 Kiegészítő ismeretek az integrálokról és a sorokról 64 Improprius integrál 64 Gyorsan változó függvények integrálása 72 A Stirling-formula 82 Gyorsan oszcilláló függvények integrálása 83 Végtelen számsorok 86 Paraméteres integrál 97 Megoldások 102 Többváltozós függvények 106 Parciális differenciálhányados 106 A kétváltozós függvények geometriai jelentése 114 Implicit függvények 115 Az elektroncső 124 Görbesereg burkolója 126 Taylor-sor és szélsőérték-feladatok 129 Többszörös integrálok 136 Többdimenziós tér és a szabadsági fok problémája 145 Megoldások 149 Komplex változós függvények 154 A komplex számok egyszerűbb tulajdonságai 154 Konjugált komplex számok 157 Komplex kitevőjű hatványok. Euler-féle összefüggés 161 Logaritmus és gyökvonás 165 A harmonikus rezgések leírása képzetes kitevőjű exponenciális függvény segítségével 170 Komplex változós függvények deriválása 177 Harmonikus függvények 179 Komplex változós függvények integrálása 182 Reziduumok 187 Megoldások 195 A Dirac-féle függvény 201 a Dirac-féle függvény 201 A Green-függvény 207 A függvénnyel kapcsolatos más függvények 211 A Stieltjes-integrál fogalma 216 Megoldások 218 Differenciálegyenletek 220 Az elsőrendű differenciálegyenlet geometriai értelmezése 220 Kvadratúrával (közvetlen integrálással) megoldható elsőrendű differenciálegyenletek 223 Másodrendű inhomogén lineáris állandó együtthatójú differenciálegyenletek 244 Stabilis és instabil megoldások 251 Megoldások 256 További ismeretek a differenciálegyenletek köréből 258 Szinguláris pontok 258 Differenciálegyenlet-rendszerek 261 Determinánsok, és szerepük az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek megoldásainak meghatározásában 264 Egyensúlyi állapotok Ljapunov szerinti stabilitása 269 Közelítő megoldások szerkesztése 272 A megoldások adiabatikus változása 281 Differenciálegyenletek numerikus megoldásas 284 Peremérték-feladatok 296 Határréteg 302 Jelenségek hasonlósága 303 Megoldások 307 Vektorok 311 Lineáris műveletek vektorokkal 312 Vektorok skalárszorzata 316 Vektorok deriváltja 318 Az anyagi pont mozgása 321 Tenzorok 326 Több dimenziós vektorterek 330 Megoldások 333 Térelmélet 338 Bevezetés 338 Skalárterek és a gradiens 339 A potenciális energia és az erő 342 Sebességtér és a fluxus 347 Az elektrosztatikus tér potenciálja és fluxusa 351 Példák 354 Az általános vektortér és a divergencia 362 A sebesség divergenciája és a kontinuitási egyenlet 366 Az elektrosztatikus tér divergenciája és a Poisson-egyenlet 369 A felületvektor és a nyomás 372 Megoldások 376 A vektorális szorzat és a forgómozgás 381 A vektorális szorzat fogalma 381 A vektorális szorzat alkalmazása a mechanikában 384 Testek mozgása centrális erőtérben 388 Merev testek forgómozgása 396 Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok 399 Vektorok és pszeudovektorok 404 A vektortér rotációja 411 A Hamilton-féle nabla-operátor 411 Potenciális terek 414 A sebességtér rotációja 417 A mágneses tér és az elektromos áram 420 Az elektromágneses tér és a Maxwell-egyenletek 423 Többszörösen összefüggő tartományok és a potenciál 427 Megoldások 429 Variációszámítás 434 A végesről a végtelen szabadsági fokra való átmenet. Példa 434 Funkcionálok 439 A szélsőérték szükséges feltétele 443 Az Euler-Lagrange-féle differenciálegyenlet 445 Mindig megoldható-e a legegyszerűbb variációs feladat? 451 Változatok egy témára 455 A feltételes szélsőérték véges szabadsági fok mellett 457 Feltételes szélsőérték a variációszámításban 460 Korlátos szélsőérték-feladatok 467 Variációs elvek. A Fermat-elv az optikában 469 A legkisebb hatás elve 475 A variációsszámítás direkt módszerei 479 Megoldások 483 Valószínűségszámítás 490 A probléma érzékeltetése 490 Valószínűségek szorzata 493 Nagyszámú kísérlet eredményének kiértékelése 498 Az entrópia 509 A radioaktív bomlás folyamata és a Poisson-képlet 514 A Poisson-eloszlás egy újabb levezetése 518 Folytonos eloszlású mennyiségek 520 Kísérletek sokszori megismétlése 525 A kölcsönös függőség, avagy a korreláció 532 A prímszámok eloszlásáról 536 Megoldások 542 A Fourier-transzformáció 548 Bevezetés 548 A Fourier-transzformáció képletei 552 A kauzalitás és a diszéperzióc összefüggések 558 A Fourier-transzformáció tulajdonságai 562 A haranggörbe Fourier-transzformáltja és a határozatlansági összefüggés 570 Periodikus függvények spektrálanalízise 575 A Hilbert-tér fogalma 579 A spektrálsűrűség fázisa és abszolút értéke 585 Megoldások 588 Az elektronikus számítógépekről 592 Analóg számítógépek 592 Digitális számítógépek 594 Adatok és utasítások tárolása az elektronikus számítógépekben 595 A programozás 600 Mikor használjuk az elektronikus számítógépeket? 608 Megoldások 615 Az egyes fejezetekhez javasolt irodalom 619 Tárgymutató 623