Matematikai kisenciklopédia

TARTALOM Az algebra tárgya 5 A számfogalom felépítése 5 Természetes számok 5 Teljes indukció 6 Műveletek a természetes számok körében 7 Egész számok 12 Műveletek egész számokkal 13 Racionális számok 15 A racionális számokról általában 16 Műveletek racionális számokkal (törtekkel) 18 Periodikus (szakaszos) tizedes törtek 21 Valós számok 24 Műveletek valós számokkal 25 A hatványozás általánosítása 29 A logaritmus 33 A számok normálalakja, karakterisztika és mantissza 34 Komplex számok 36 Algebrai bevezetés 36 Geometriai bevezetés 38 Trigonometrikus és exponenciális alak 40 A számfogalom további általánosítása 42 Kvaterniók 43 Egyéb általánosítási lehetőség? p-adikus számok 45 Polinomok 47 Polinomgyűrű 47 Műveletek polinomokkal 48 Polinomok oszthatósága: irreducibilitás 52 Polinom helyettesítési értéke, gyöke 52 Az "algebra alaptétele" 55 Racionális együtthatós polinomok 56 Polinomok racionális gyökei: Horner-elrendezés 58 Többhatározatlanú polinomok 60 Műveletek algebrai kifejezésekkel 62 Számtani és mértani sorozat 65 Egyenletek 70 Első- és másodfokú egyenlet 70 Harmadfokú egyenlet 72 Cardano-képlet 73 Casus irreduciiblis 74 Negyedfokú egyenlet 77 Egyéb egyenletek 78 Paraméteres egyenletek: egyenletek rendezése 80 Kombinatorika, determinánsok 83 Kombinatorikai alapfogalmak 83 Variációk 83 Kombinációk 85 A binomiális tétel 87 Permutációk inerziói 88 Mátrixok és a determináns 90 Mátrixok 90 A determináns 91 A determináns kifejtése 93 Lineáris algebra 94 Vektorerek 94 Absztrakt vektorerek 96 Vektorok lineáris kombinációi 97 A vektorér bázisa 99 Lineáris leképzések 100 Műveletek lineáris leképezésekkel 101 Lineáris transzformációk 102 A lineáris leképezések mátrix-reprezentációja 103 Euklédeszi tér 105 Kvadratikus alakok 106 A karakterisztikus polinom 107 Egyenletrendszerek 108 Lineáris egyenletrendszerek 108 Példa lineáris egyenletrendszer megoldására 110 A lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltétele 111 Homogén lineáris egyenletrendszerek 112 Túlhatározott egyenletrendszerek 113 Magasabbfokú egyenletrendszerek 114 Csoportelmélet 115 A csoport fogalma 115 Permutációcsoport 116 Ciklusok 119 Csoportok kapcsolatai 120 Testelmélet 121 A test fogalma 121 Galois-elmélet 122 Szerkeszthetőség 123 Az egyismertlenes egyenletek osztályozása 124 Logaritmikus és expoenciális egyenletek 125 Véges testek 127 Algebrai sturktúrák 127 Eddig tárgyalt struktúrák 127 Hálók 128 Az algebrai stuktúrák általában 128 Az algebrai mai fejlődésének irányai 130 Az ALGEBRA TÖRTÉNETÉNEK VÁZLATA 130 SZÁMELMÉLET (Fried Ervin) Bevezetés 133 Egész számok 133 Az egész számok elemi tulajdonságai 133 A maradékos osztás 134 Számrendszerek 135 Tízes számrendszerek 135 Egyéb számrendszerek 126 Műveletek elvégzése számrendszerekben 138 A kettes számrendszer 141 Oszthatóság 142 Az egész számok osztályozása az oszthatóság alapján 143 A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös 144 Az Inko meghatározása euklidészi algoritmussal 145 A PRÍMSZÁMOKRÓL 146 A számelmélet alaptétele 149 A prímszámok száma 149 Eratoszthenész szitája 150 Becslések a prímszámok számára 152 Csebisev-tétel 153 A prímszámok reciprokértékének összege 154 Számtani sorozatok prímszámai 155 Különböző típusú prímszámok 156 SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEK 157 Számelméleti függvények és néhány speciális osztályuk 157 Fontosabb multiplikatív számelméleti függvények 158 Az euler-féle függvény 158 A Möbius-féle függvény 160 Az osztók száma és összege 160 KONGRUENCIÁK 160 A kongruenciák fogalma 160 A maradékosztályok 161 Oszthatósági szabályok 153 Teljes és redukált maradékrendszerek 165 Euler tétele 165 Fermat tétele 167 Elsőfokó (lineáris) kongruenciák 169 Szimultán kongruenciarendszerek 170 Magasabb fokú prímmodulusú kongruenciák 172 Wilson tétele 173 Másodfokú (kvadratikus) kongruenciák 174 A kvadratikus karakter megállapítása 175 Primitív gyök 177 ADDITÍV SZÁMELMÉLET 179 Lineáris felbontások 179 A generátorfüggvény 181 A Goldbach-sejtés 184 Kvadratikus felbontások 184 Magasabb fokú felbontások 188 ALGEBRAI ÉS TRANSZCENDENS SZÁMOK Az algebrai és a transzcendens számok fogalma 188 Diofantoszi approximáció 189 Nevezetes transzcendens számok 192 GEOMETRIAI SZÁMELMÉLET 192 Minkowski tétele 192 A számelmélet történetének vázlata 195 GEOMETRIA Alapfogalmak 197 A geometriai fogalmak eredete 197 A geometria felépítési módja, alapfogalmak, axiómák 197 Az illeszkedés axiómái 198 A rendezés axiómái 198 Az egybevágóság axiómái 198 A folytonosság axiómái 199 A párhuzamosság axiómái 199 A geometria és a valóság 199 ELEMI EUKLIDÉSZI GEOMETRIA 200 Félegyenes, szakasz, félsík, féltér 200 Egyenesek, síkok kölcsönös helyzete 200 A szög, szögpárok 200 A szakasz és a szög mérése 202 Sokszög, kör, konvexitás 203 A geometriai transzformációk 203 Az egybevágóság 204 Eltolás 205 Elforgatás 305 Középontos tükrözés 206 Tengelyes tükrözöés 206 Hasonlóság, középpontos hasonlóság 208 Háromszögek egybevágósága és hasonlósága 209 Néhány nevezetesebb háromszög-tétel 210 Egyenlőtlenségek a háromszöggel kapcsolatban 211 Négyszögek, trapézek, paralelogrammák 211 A kör geometriájából 212 A terület 213 Mértani közép: Pithagorász tétele 214 Szerkesztések 214 Szerkesztések csak körzővel, csak vonalzóval 216 Poliéderek 217 Tetraéderek 218 Szabályos poliéderek 218 Hengerek, kúpok 219 A gömb geometriájából 220 A térfogat 222 A kúpszeletek 223 Síkbeli konvex tartományok 225 Mozaikok, a sík kitöltése 227 Az affinitás 228 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIA 229 ANALTIKUS GEOMETRIA ÉS TRIGONOMETRIA A vektor fogalma 235 Vektorok összeadása, kivonása 236 Vektorok szorzása számmal 237 A helyvektor 237 Vektorok felbontása összetevőkre, koordináták 238 A trigonometrikus függvények értelmezése 241 Hegyesszögek függvényei és a derékszögű háromszög 242 Néhány megjegyzés a szögfüggvények értékének meghatározásához 243 A trigonometria alapfeladatai 244 Az összegezési tételek és következményeik 246 Néhány ismertebb trigonometriai összefüggés 248 A szögfüggvények ábrázolása 250 Trigonometrikus egyenletek 251 Egy terepmérési feladat 253 A gömbháromszögek trigonometriája 253 A vektorok skaláris szorzata 254 Vektoriális szorzat, vegyes szorzat 257 Két pont távolsága 258 Az egyenes analitikus geometriája 258 Az egyenes paraméteres egyenlete, a sík egyenlete 261 Terület és köbtartalom analitikus kifejezése 264 A kör egyenlete 264 A kúpszeletek egyenletek 265 Másodrendű görbék 266 Másodrendű felületek 268 Síkbeli polárkoordináták 269 PROJEKTÍV GEOMETRIA 271 Ideális térelemek, Desargeus tétele 271 A projektív tér. Dualitás 273 A kettősviszony 274 A kollineáció 274 Kúpszeletek projektív származtatása 275 Pascal és Brianchon tétele 276 Véges projektív síkok 278 NEM-EUKLIDÉSZI GEOMETRIÁK 280 A párhuzamosság problémája 280 A Bolyai-Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometria 280 A Lambert- és Saccheri-négyszögek 282 A távolságvonal 282 A párhuzamosok néhány tulajdonsága 283 Méretes összefüggések a hiperbolikus síkon 283 A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria és a valóság 285 A hiperbolikus sík Cayley-Klein féle körmodellje 286 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA A differenciálgeometria tárgyköre 286 Görbék paraméteres megadása 287 A görbe ívhossza, természetes paraméter 288 A görbe érintője 289 A kísérő tréder 289 A görbület, görbületi kör 290 A torzió 292 A Frencet-féle formulák 293 Felületek megadása, elsőrendű főmennyiségek 293 Érintősík, felületi merőleges, másodrendű főmennyiségek 294 Felületi görbék ívhossza, felszíne 294 Felületi görbék görbülete 295 Felületi pontok osztályozása: a Dupin-féle indikatrix 296 Geometria a felületeken: geodetikus vonalak 298 TOPOLÓGIA Folytonos leképezések 299 A topológia tárgya 300 A felületek Euler-féle karakterisztikája 300 Felületek kromatikus száma, térképszínezés 301 A szomszédossági szám és a sűrűség 302 A felületek irányítása, egyoldalú felületek 303 Absztrakt terek 304 GRÁFELMÉLET A síkra rajzolhatóság 304 A gráf fogalma, elnevezések 305 A fokszám 306 Utak, körök, összefüggő gráf, komplementer gráf 307 Fák 308 A gráf Euler- és Hamilton-féle vonala 308 Páros gráfok 310 Irányított gráfok 310 A gráf fogalmának általánosítása 311 A Geometria történetének vázlata 312 ANALÍZIS (Pásztor István) Bevezetés 314 A valós számok 314 A valós számok alapvető tulajdonságai 317 A rendezés. Egyenlőtlenségek. Abszolút érték 319 Valós számhalmazok 321 A függvény fogalma és megadási módjai 324 Néhány fontosabb függvénytípus 326 Az inverz függvény 327 Az összetett függvény fogalma 329 Az elemi függvények 330 Algebrai függvények 331 Transzcendens függvények 332 Sorozatok határértéke 333 A konvergencia fogalma 335 Konvergenciakritérium monoton sorozatokra 336 Számolás konvergens sorozatokkal és határértékekkel 337 A Cauchy-féle általános konvergenciakritérium 338 Sorozatok torlódási pontjai és részsorozatai 338 Számhalmaz torlódási pontjainak jellemzése sorozatokkal 339 Végtelen sorok 340 Általános konvergenciakritérium végtelen sorokra 341 Pozitív tagú sorok 342 A hányados- és gyökkritérium 344 Leibniz-tétel alternáló sorokra 345 Tetszőleges tagú sorok 346 Számolás végtelen sorokkal 346 Hatványsorok 349 Függvény határértéke 351 Folytonosság 356 Az egyenletes folytonosság 358 Folytonos függvény néhány fontos tulajdonsága 359 Folytonos függvények sorozatának határértékéről 360 Differenciálszámítás 361 A differenciálhányados fogalma 361 Differenciális szabályok 363 Differenciálhatóság és folytonosság 366 A differenciál 368 A differenciálhányados előjelének jelentése 368 A második differenicálhányados előjelének jelentősége szélsőérték-számításnál 370 Konvexség, konkávság és inflexiós pont 373 Megjegyzés lokális és globális tulajdonságokról 373 A középértéktételek 373 A középértéktétel néhány fontos következménye 374 L'Hospital-szabály 375 Taylor-sor 376 Mire való a Taylor-formula? 376 Polinomok Taylor-formulája 377 A Taylor-formula 379 A primitív függvény 383 Alapintegrálok 383 Integrálási szabályok 384 Integrálás helyettesítéssel 386 Racionális függvények integrálása 386 Megjegyzés a differenciálásról és integrálásról 387 A meghatározott integrál 388 A határozott integrál értelmezése 388 A differenciál- és az integrálszámítás kapcsolata 394 A differenciál- és integrálszámítás alaptétele 394 A határozott integrál kiszámítása a határozatlan integrál segítségével 395 Az integrálszámítás egy alkalmazása. Ívhossz 396 Több változós függvények 396 Ponthalmazok 397 Többváltozós függvényekről 399 Többváltozós függvény grafikonja 399 A teljes (totális) differenciálhányados és a teljes (totális) differenciál 401 Görbék és felületek paraméteres egyenletrendszere 405 Az iránymenti differenciálhányados. A gradiens 408 A vonal menti integrál 409 Kettősintegrál, hármasintegrál (térfogatintegrál), felületi integrál 412 Implicit függvények 416 n-változós függvény 418 Differenciálegyenletek 419 Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek 421 Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek integrálása a változók szétválasztásával 424 Másodrendű közönséges differenciálegyenletek 425 Differenciálegyenlete integrálása hatványsorral 427 Lineáris differenciálegyenletek 428 Komplex függvénytan 431 A komplex sík ponthalmazairól 431 Komplex változós függvények 432 Cauchy-Riemann-féle differenciálegyenletek, Laplace-féle differenciálegyenlete 433 Reguláris függvény által létesített leképezések 435 Példa konformis leképezésre 437 Komplex szám logaritmusa 437 Az e z függvény 438 Komplex függvény görbementi integrálja 439 Az integrál egyszerű tulajdonságai 440 Visszavezetés valós változós integrálra 440 Néhány egyszerű példa 441 A Cauchy-féle integráltétel 442 A Cauchy-féle integrálformula 443 Az analízis történetének vázlata 446 HALMAZELMÉLET (Ruzsa Imre) Halmazalgebra 448 A halmaz fogalma 448 Részhalmaz, valódi rész 450 Halmazműveletek 452 Hatványhalmaz-algebra 454 Halmazok és függvények 459 A függvény általános fogalma 459 Halmazokból képzett hatvány 460 Halmazok ekvivalenciája 461 Megszámlálható halmazok 463 Megszámlálható halmaz és végtelen sorozat 463 A végtelen halmazok jellegezetes tulajdonságai 465 További megszámlálható halmazok 465 Nem megszámlálható halmazok 467 Kontinuum számosságú halmazok 467 A számosságok 470 Magasabb számosságok 473 Rendezett halmazok 474 Halmazok rendezése, hasonlóság, rendtípusok 474 Rendezett halmaz szelete 476 Jólrendezett halmazok, rendszámok 477 Jólrendezett halmazok 477 Rendszámok 478 A halmazelmélet problémái 480 A matematika és a halmazelmélet 480 Halmazelméleti ellentmondások 481 Az axiomatikus halmazelmélet 483 A halmazelmélet történetének vázlata 485 VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS A valószínűségszámítás feladata 486 A gyakoriság 486 Eseményalgebra 487 Műveletek eseményekkel 487 Események összege 487 Események szorzata 488 A biztos és a lehetetlen esemény 488 Események különbsége 489 Kolmogorov elmélete 489 Eseménytár, elemi esemény, esemény 489 A valószínűség matematikai fogalma 491 Kombinatorikus módszerek valószínűségek meghatározására 491 Példák 492 Feltételes valószínűség 494 A teljes valószínűség tétele 494 Bayes tétele 495 Függetlenség 495 Valószínűségi változó 496 Eloszlás- és sűrűségfüggvény 497 Várható érték 498 Szórás 501 Korreláció 502 Valószínűség eloszlások 503 Binomiális eloszlás 503 Bernoulli képlete 504 Példák a Moivre-Laplace formula alkalmazására 506 Hipergeometrikus eloszlás 509 Poisson eloszlás 510 Expoenciális eloszlás 512 Normális eloszlás 513 A nagy számok törvényei 514 Centrális határeloszlás tétel 505 Sztochasztikus folyamatok 516 Információelmélet 517 A valószínűségszámítás néhány további problémjáról 518 MATEMATIKAI STATISZTIKA (Révész Pál) A matematikai statisztika feladata 520 Hipotézisvizsgálat 520 Becsléselmélet 522 Várható érték becslése 523 A szórás becslése 523 A becsléselmélet néhány általános fogalma 523 Eloszlás- és sűrűségfüggvény becslés 524 Konfidencia intervallum 524 Játékelmélet 525 Döntésfüggvények 527 A matematikai statisztika néhány további problémájáról 528 A valószínűségszámítás történetének vázlata 528 MATEMATIKAI LOGIKA (Ruzsa Imre) A matematikai logika tárgya 530 Mi a következtetés? 531 Kijelentéskalkulus 532 A kijelentés 532 Negáció és konjukció 533 A logikai értékek algebrája 534 További logikai műveletek 537 A diszjunkció 538 "Sem-sem" 538 Az implikáció 538 Az ekvivalencia 540 A kizáró "vagy" 540 A Scheffer-féle művelet 541 Néhány azonosság 541 A kijelentéskalkulus következményfogalma 541 A kijelentéskalkulus formulái 541 Helyettesítés és pótlás 542 A kijelentéskalkulus következtetési sémái 543 Alkalmazási példa 545 A kijelentéskalkulus "axiomatikus" felépítése 546 Predikátumkalkulus 547 Predikátumok és kvantorok 547 Műveletek predikátumokon 549 A predikátumkalkulus formulái 551 A predikátumkalkulus következményfogalma 552 A helyettesítés a predikátumkalkulusban 554 A predikátumkalkulus axiomatikus felépítése 555 Szillogisztikus következtetések 557 Azonosság 560 Alkalmazások 562 Matematikai alkalmazások 562 Műszaki alkalmazások 562 A matematikai logika történetének vázlata 564 Név- és tárgymutató 565